1、本册综合素质检测(一)(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，已知a40，b20，A45，则角B等于(C)A60B60或120C30D30或150解析由正弦定理，得sinB，又ba，B为锐角，B30.2已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是(A)A15 B30 C31 D64解析由a7a916，得a88，4da8a4817，a12a84d8715.3函数f(x)x(x0)的值域为(B)A(，0)B(，2C2，)DR解析令yx(x0)，则yx，x0，yx22，y2，故
2、选B4已知pa(a2)，q()x22(xR)，则p、q的大小关系为(A)ApqBpqCp0)，则cosB.7已知各项为正数的等差数列an的前20项和为100，那么a7a14的最大值为(B)A25B50C100D不存在解析an为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，100，即a1a2010，a7a1410.又a7a14225，当且仅当a7a14时“”成立8在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a7，b4，c，则最小角为(B)ABCD解析abc，角C为最小角，cosC，C(0，)，C.9不等式0的解集为(A)Ax|1x2或2x3Bx|1x3Cx|2x3Dx|1x3解析原不等式等价
3、于解得1x3，且x2，故选A10若x、y满足条件，则z2xy的最大值为(A)A1BC2D5解析作出可行域如下图，当直线y2xz平移到经过可行域上点A(1，1)时，z取最大值，zmax1.11下列函数中，最小值为4的是(C)AyBysinx(0x)Cyex4exDy解析对A选项，x0时无最小值；对B选项，因为0x，所以0sinx1，又ysinx在sinx(0,1上为减函数，所以ymin15；对D选项，函数y2，当且仅当x212即x1时，取“”故选C12数列an满足an1，若a1，则a20的值为(B)ABCD解析逐步计算，可得a1，a21，a31，a4，a5，a6，这说明数列an是周期数列，T3，
4、而20362，a20.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13若关于x的不等式ax26xa20且1是方程ax26xa20的一个根，a2，不等式为2x26x40，即x23x20，1x0对于任意的xR都成立，则k的取值范围是k0，不符合题意；当k10时，由题意得即.解得k1.综上所述，k0，则33x的最小值为9.解析x0，33x323239.当且仅当x1时，取等号三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a、b、c成等差数列，证明：sinAs
5、inC2sin(AC)；(2)若a、b、c成等比数列，求cosB的最小值. 解析(1)a、b、c成等差数列，ac2b，由正弦定理，得sinAsinC2sinBsinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)a、b、c成等比数列，b2ac，由余弦定理，得cosB，当且仅当ac时，等号成立cosB的最小值为.18(本题满分12分)若a1，解关于x的不等式1 .解析a0时，xR且x2；a0时，10(a1)x2(x2)0.a1，a10.化为(x)(x2)0，当0a2，不等式的解为2x；当a1，2，不等式解为x2，当0a1时，不等式解集为；当a0时，不等式解集为；当a0时，解
6、集为xR|x219(本题满分12分)(2015江苏，15)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值解析(1)由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理，得，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C.因此sin 2C2sin Ccos C2.20(本题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，且点P(an，Sn)(其中n1且nN)在直线4x3y10上；数列是首项为1，公差为2的等差数列. (1)求数列an、bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.解析(1)
7、由点P(an，Sn)在直线4x3y10上，4an3Sn10即3Sn4an1，又3Sn14an11(n2)，两式相减得an4an1，4(n2)，an是以4为公比的等比数列，又a11，an4n1.是以1为首项，以2为公差的等差数列，1(n1)(2)12n，bn.(2)由(1)知，CnTn，Tn，以上两式相减得，Tn1()1，Tn.21(本题满分12分)已知等比数列an的前n项和为Sna2nb且a13.(1)求a、b的值及数列an的通项公式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解析(1)由已知，得解得a22a，a34a，公比q2.2，a3代入得b3.an32n1.(2)bn，Tn(1)Tn()得：T
8、n(1)()(2)(1)，Tn(1)22(本题满分14分)某客运公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(xN*)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少车，可使年平均运营利润最大？解析(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，每辆车的总支出为20016(12x)200x(x1)168x28x200(万元)y4100x(8x28x200)16(2x223x50)(xN*)(2)年平均利润为16(2x23)，xN*，2x220，16(2x23)16(3)48.当且仅当2x，即x5时，等号成立运营5年可使年平均运营利润最大，最大年平均运营利润为48万元
