1、十八直线与平面垂直(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列各种情况中,不能保证该直线与平面垂直的是()A.一条直线垂直于一个平面内的三角形的两条边B.一条直线垂直于一个平面内的梯形的两条边C.一条直线垂直于一个平面内的圆的两条直径D.一条直线垂直于一个平面内的正六边形的两条边【解析】选BD.三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是BD.2.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点.若C
2、D=2AB,EFAB,则EF与CD所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH.在EFH中,EFH=90,HE=2HF,从而FEH=30.3.(2020新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处水平面所成的角为()A.20B.40C.50D.90【解析】选B. 晷针与晷面垂直,而晷面与
3、赤道所在平面平行,所以晷针与赤道所在平面垂直,进而可知晷针与OA的夹角是50,又OA垂直点A处的水平面,则晷针与点A处的水平面所成的角为40.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段BC1上任意一点,则下列结论中正确的是()A.AD1DPB.APB1CC.AC1DPD.A1PB1C【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为B1CBC1,B1CAB,BC1AB=B,所以B1C平面ABC1D1,因为点P是线段BC1上任意一点,所以APB1C.5.如图,设平面平面=PQ,EG平面,FH平面,垂足分别为G,H.为使PQGH,则需增加的一个条件是()A.EF平面B.EF平面C.
4、PQGED.PQFH【解析】选B.因为EG平面,PQ平面,所以EGPQ.若EF平面,则由PQ平面,得EFPQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ平面EFHG,所以PQGH.6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持APBD1,则动点P的轨迹是()A.线段BC1B.线段B1CC.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C1中点连成的线段【解析】选B.如图,连接BD1,AC,AB1,B1C,BD,因为ACBD,ACDD1,BDDD1=D,所以AC平面BDD1,所以ACBD1,同理B1CBD1,B1CAC=C,所以BD1平面AB1C,所以
5、动点P的轨迹是线段B1C.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若AOB=120,直线aOA,a与OB为异面直线,则直线a和OB所成的角的大小为_.【解析】因为aOA,异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60.答案:608.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是_.【解析】如图由已知得PAPB,PAPC,PBPC=P,所以PA平面PBC.又PBPC,PB=PC,BC=2,所以PB=PC=.所以VP-ABC=VA-PBC=PASPBC=.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,中心为O,且底面边长和侧
6、棱长相等,M是PC的中点,求MO与AB所成的角的大小.【解析】如图,连接AC,则O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以在APC中,MOPA,即PAB为异面直线MO与AB所成的角(或补角).由已知得PA=AB=PB,所以PAB为等边三角形,即PAB=60.故MO与AB所成的角的大小为60.10.如图所示,四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面),C是圆柱底面圆周上异于A,B的任意一点.求证:AC平面BB1C.【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面,所以BB1底面ABC.因为AC底面ABC,所以BB1AC.因为AB为底面圆的直径,所以ACB=90,所以BCAC.又因为BB1BC=
7、B,BB1平面BB1C,BC平面BB1C,所以AC平面BB1C.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知m,n是两条不同的直线,是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是()A.若mn,n,则mB.若m,m,则C.若m,n,则mnD.若m,n,则mn【解析】选BC.A中,直线m垂直于平面内的一条直线n,则直线m与平面不一定垂直,所以A不是真命题;B是平面与平面垂直的判定定理,所以B是真命题;C是直线与平面垂直的性质定理,所以C是真命题;D中,分别在两个平行平面,内的直线m,n平行或异面,所以D不是
8、真命题.2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.75B.60C.45D.30【解析】选B.如图所示.过P作PP平面ABC于P,则P为ABC的中心,连接AP并延长交BC于点M,则PAP即为PA与平面ABC所成的角,由V=Sh,得h=,即PP=,又AP=AM=1,所以tanPAP=,所以PAP=60.3.如图,平行四边形ADEF的边AF平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=()A.2B.3C.D.【解析】选D.因为四边形ADEF为平行四边形,所以AFDE.因为
9、AF平面ABCD,所以DE平面ABCD.所以DEDC.因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CE=.4.已知三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,P在平面ABC外,PH平面ABC于H,则垂足H是三角形ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心【解析】选C.如图,因为PA,PB,PC两两垂直,所以PA平面PBC,所以PABC.又BCPH,PAPH=P,所以BC平面PAH,所以BCAH.同理ABCH,ACBH.所以点H为ABC的垂心.二、填空题(每小题4分,共16分)5.如图,设平面=EF,AB,CD,垂足分别是B,D,BDEF,则AC与EF的位置关系是_.【解析】因为AB,CD,
10、所以ABCD,故直线AB与CD确定一个平面.因为AB,EF,所以ABEF,又BDEF,ABBD=B,所以EF平面ABDC.因为AC平面ABDC,所以ACEF.答案:垂直6.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中DPC,则DE与平面PAC的位置关系是_.【解析】因为DE平面ABC,PA平面ABC,所以DEPA.又DE平面PAC,PA平面PAC,所以DE平面PAC.答案:平行7.如图所示,PO平面ABC,BOAC,在图中与AC垂直的直线有_条.【解析】因为PO平面ABC,AC平面ABC,所以POAC.又ACBO,POBO=O,所以AC
11、平面PBD,所以PBD内的4条直线PB,PD,PO,BD都与AC垂直,所以图中共有4条直线与AC垂直.答案:48.如图所示,直四棱柱ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,当底面四边形ABCD满足_时,ACBD.(只填上一个你认为正确的结论即可,不必考虑所有情况)【解析】BDAC反过来当BDAC时有ACBD.答案:ACBD(答案不唯一)三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.(2)求证:PD平面PBC.(3)求直线AB与平面PBC所成角
12、的正弦值.【解析】(1)因为ADBC,所以DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角,因为AD平面PDC,PD平面PDC,所以ADPD,在RtPDA中,AP=,所以cosDAP=,所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)因为AD平面PDC,PD平面PDC,所以ADPD,又因为ADBC,所以PDBC,又PDPB,BCPB=B,所以PD平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由
13、已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得DF=2.在RtDPF中,sinDFP=.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.10.(12分)如图所示,已知P为ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.【解析】过P作PO平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以POOA,POOB,POOC.因为PA=PB=PC=a,所以PAOPBOPCO.所以OA=OB=OC,所以O为ABC的外心.因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a,所以ABC为正三角形,所以OA=AB=a,所以PO=a.所以点P到平面ABC的
14、距离为a.11.(14分)(2020全国卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EFAC;(2)点C1在平面AEF内.【证明】(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1,所以BB1平面ABCD,所以ACBB1,因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,所以ACBD,因为BB1BD=B,BB1,BD平面BB1D1D,因此AC平面BB1D1D,因为EF平面BB1D1D,所以EFAC;(2)在CC1上取点M使得CM=2MC1,连接DM,MF,EC1,因为D1E=2ED,DD1CC1,DD1=CC1,所以ED=MC1,EDMC1,所以四边形DMC1E为平行四边形,所以DMEC1,因为MFDA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形,所以DMAF,所以EC1AF,因此点C1在平面AEF内.
