1、F单元平面向量目录F单元平面向量1F1平面向量的概念及其线性运算1F2平面向量基本定理及向量坐标运算3F3平面向量的数量积及应用7F4 单元综合17F1平面向量的概念及其线性运算【数学理卷2015届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试（201411）】12在中，与交于点，设=，=，则(用,表示)【知识点】向量的线性运算性质及几何意义F1【答案】【解析】解析：三点共线，三点共线，即，且，所以，所以故答案为：【思路点拨】由三点共线，知；由三点共线，知，所以，所以【数学理卷2015届浙江省嘉兴一中等五校2015届高三上学期第一次联考（201412）】16设向量，其中为实数若，则的取值
2、范围为_【知识点】三角函数的性质向量相等函数的单调性F1 C3 B3【答案】【解析】6,1解析：由得，得,解得，则，所以函数在区间上单调递增，当时得最小值为6,当x=2时得最大值为1,所以所求的范围是6,1.【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系，再利用三角函数的性质求出的范围，再利用导数判断单调性，利用单调性求函数的值域.【数学理卷2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试（201411）】6已知点P是ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足，则点P一定是ABC的（ ）A内心B外心C重心D垂心【知识点】平面向量
3、的线性运算F1【答案】【解析】B解析：设D为BC的中点，可得，所以，即，即，结合D为BC的中点，可得P在BC的垂直平分线上又点P是ABC的内心、外心、重心和垂心之一结合三角形外接圆的性质，得点P是ABC的外心，故选择B.【思路点拨】：设D为BC的中点，可得，根据向量数量积的运算性质，得到，即，可求得.F2平面向量基本定理及向量坐标运算【数学理卷2015届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（201411）word版】10. （原创）已知O为坐标原点，,，记、中的最大值为M，当取遍一切实数时，M的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【知识点】向量模的坐标运算；向量模的最值. F2【答案】【解
4、析】C解析：因为，,，所以，（1）当a=0时，M，（2）当a=7（A、B、C三点共线）时，则点P落在AB中点时，M取得最小值，,(3)当a0且a7时，P落在ABC的外心Q 时，M有最小值 Q所在的直线与AB 垂直，故Q 在直线y=x 上，若,则yx；当yx时到点C距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：，交直线y=x于P，当a=2时，M取得最小值，综上得：M的取值范围是，故选C. 【思路点拨】（1）当a=0(A、B、O三点重合)时，P是OC中点时，M最小；（2）当a=7（A、B、C三点共线）时，则点P落在AB中点时，M取得最小值；(3)当a0且a7时，P落在ABC的外心Q 时，M有最小值.三种
5、情况下M均无最大值，故分类讨论出M的最小值，即可得到答案.【数学理卷2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411）】5在ABC中，是边所在直线上任意一点，若，则【】 A1 B2 C3 D4【知识点】平面向量的基本定理及其意义F2【答案】【解析】C解析：ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，存在实数，使得=，即化简得=，=2+，结合平面向量基本定理，得，解之得=3，=故选：C【思路点拨】根据A、M、B三点共线，可得存在实数使=成立，化简整理得=，结合已知等式建立关于、的方程组，解之即可得到实数的值【数学理卷2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411）】5在ABC中，是边所
6、在直线上任意一点，若，则【】 A1 B2 C3 D4【知识点】平面向量的基本定理及其意义F2【答案】【解析】C解析：ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，存在实数，使得=，即化简得=，=2+，结合平面向量基本定理，得，解之得=3，=故选：C【思路点拨】根据A、M、B三点共线，可得存在实数使=成立，化简整理得=，结合已知等式建立关于、的方程组，解之即可得到实数的值【数学理卷2015届浙江省嘉兴一中等五校2015届高三上学期第一次联考（201412）】15设是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号_【知识点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】1002或1001解析：因为，
7、所以，因为二次函数的对称轴方程为，又n为正整数，所以当n=1002或1001时模最小.【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值.【数学文卷2015届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（201411）word版】18.（原创）（本题满分13分）已知中，角的对边分别为，且有.求角的大小；设向量,且，求的值.【知识点】正弦定理；两角和与差的三角函数；三角形的内角和；诱导公式；向量垂直的性质，三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：由条件可得：整理得：所以，又，故由可得：整理得：从而（舍去）又，为锐角故，于是【思路点
8、拨】(1)利用正弦定理，两角和与差的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得；（2）由可得,可得的值.【数学文卷2015届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（201412）word版】9如图，在RtABC中，C= 90，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是A-7，7 B-8，8C-9，9 D-10，JO【知识点】平面向量基本定理F2【答案】C【解析】在RtABC中，C=90，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么=，=16+4=20()=()=2以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系
9、，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为ABC及其内部区域，故有令t=（-4，1）（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7故当直线y=4x+t-7过点A（4，0）时，t取得最小值为7-16+0=-9，当直线y=4x+t-7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7-0+2=9，故t=的取值范围是-9，9，【思路点拨】由条件可得=，故()=()=，由此求得()的值以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=的取值范围
10、【数学文卷2015届浙江省嘉兴一中等五校2015届高三上学期第一次联考（201412）】15. 设是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号【知识点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】1002或1001解析：因为，所以，因为二次函数的对称轴方程为，又n为正整数，所以当n=1002或1001时模最小.【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值.F3平面向量的数量积及应用【数学理卷2015届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（201411）word版】6（原创）在ABC中，已知，则的值为（ ）A B CD【知识点】三角形面积公式；向量的数
11、量积. F3 【答案】【解析】D解析：=所以=，故选D. 【思路点拨】由三角形的面积公式求得sinA ，进而得到cosA，再用向量数量积公式求解.【数学理卷2015届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（201412）word版】8已知等边ABC中，点P在线段AB上，且，若，则实数的值为A2BC1D【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】C【解析】设等边三角形ABC的边长为1则|=|=，|=1-（01）=()=+=.，所以11cos120+1cos0=（1-）cos180化简-+=-（1-），整理2-2+=0，解得=（=1舍去）【思路点拨】将表示为,利用向量数量积公式，将关系式化简得出关
12、于的方程并解出即可注意01【数学理卷2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411）】10在ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】A3B4C5D6【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的综合题；正弦定理的应用C8 F3【答案】【解析】A解析：ABC中设AB=c，BC=a，AC=bsinB=cosAsinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosAsinAcosC=0，sinA0cosC=0 C=90=9，SABC=6，bccosA=9，bcsinA=6tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，c=
13、5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数使得=（3，44）（01）设，则|=|=1，=（1，0），=（0，1），=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3，y=44则4x+3y=12，12=4x+3y，xy3，故所求的xy最大值为：3故选C【思路点拨】ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosAsinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由=9，SABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为
14、x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数使得=（3，44）（01），设，则|=|=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值【数学理卷2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411）】10在ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】A3B4C5D6【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的综合题；正弦定理的应用C8 F3【答案】【解析】A解析：ABC中设AB=c，BC=a，AC=bsinB=cosAsinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcos
15、AsinAcosC=0，sinA0cosC=0 C=90=9，SABC=6，bccosA=9，bcsinA=6tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数使得=（3，44）（01）设，则|=|=1，=（1，0），=（0，1），=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3，y=44则4x+3y=12，12=4x+3y，xy3，故所求的xy最大值为：3故选C【思路点拨】ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由si
16、nB=cosAsinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由=9，SABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数使得=（3，44）（01），设，则|=|=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值【数学理卷2015届湖北省八校高三第一次联考（201412）】17（本小题满分12分）已知ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若，（）求；（）若，求ABC的面积【知识点】正弦定理；平面向量数量积
17、的运算C8 F3【答案】【解析】（）;（）解析：( I )依题设：sinA，sinC，故cosBcos(AC)cos (AC)(cosAcosC-sinAsinC)(). 则:sinB所以4:5:66分 ( II ) 由( I )知：4:5:6，不妨设：a4k，b5k，c6k，k0.故知：|b5k，|a4k.依题设知：|2|22|cosC46 46k246，又k0k1.故ABC的三条边长依次为：a4，b5，c6.ABC的面积是12分【思路点拨】（）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos-（A+C）展开即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：
18、c的值；（）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出ABC的面积【数学理卷2015届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期第二次联考（201412）word版】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知为单位向量，当向量的夹角为时，在上的投影为.【知识点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的含义与物理意义F3 C8【答案】【解析】解析：根据题意画出图形如下图：设，根据余弦定理得：，所以,则在上的投影为，故答案为。【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出【数学文卷2015届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（201411）word
19、版】13.若向量的夹角为，则【知识点】向量的运算. F3 【答案】【解析】2解析：=.【思路点拨】把求向量的模，转化为数量积运算即可.【数学文卷2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411）】16、(本小题满分12分)已知向量，函数，(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的值域【知识点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算C5 F3【答案】【解析】(1) (2) 解析：（）4分单调递增区间是.6分（）.8分函数f(x)的值域是.12分【思路点拨】（1）首先根据=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后根据函数f（x）
20、=cos2x，求出函数f（x）的解析式；最后根据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；（2）当x0，时，可得2x，然后求出函数f（x）的值域即可【数学文卷2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411）】14、如图，在边长为2的菱形ABCD中，为中点，则、【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】1解析：在菱形ABCD中，BAD=60，ABD为正三角形，=60，=18060=120，=，=（+=+=22cos60+12cos120=21=1，故答案为：1【思路点拨】将表示为，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解【数学文卷2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411
21、）】、已知，且，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】B解析：（2+）=1，化为=故选B【思路点拨】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出【数学文卷2015届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试（201411）】16把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动（1）当点与原点重合时，=；（2）的最大值是_【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）当A点与原点重合时，在轴上，则.（2）如图令，由于故，如图，故故同理可求得，即当时，取最大值，则的最大值是故答案为：1，2【思路点拨】（1）求出
22、的坐标，以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可得到；（2）令，由边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积【数学文卷2015届湖北省八校高三第一次联考（201412）word版】11在边长为2的正ABC中，则_【知识点】向量数量积的计算. F3 【答案】【解析】-2解析：【思路点拨】根据向量数量积的定义求解. 【数学文卷2015届浙江省嘉兴一中等五校2015届高三上学期第一次联考（201412）】21.（本题满分14分）设向量，其中为实数（）若，且求的取值范围；（）若求的取值范围【知识点】向量的数量积，三角函数的性质C3 F3 【答案】【
23、解析】（）；（）.【解析】（）时，因为，所以,整理得对一切均有解，当时，得，符合题意，当时，解得，所以的取值范围为；（）由题意只需，由消元得，解不等式组，解得，所以.【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系，再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解答.【数学文卷2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试（201411）】14. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则 .【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】解析：建立直角坐标系，则可得，所以，故答案为.【思路点拨】建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出【数学文卷2015届河北省唐山一中高三上学期期
24、中考试（201411）】11.若均为单位向量，则的最大值是（） A B. CD. 【知识点】平面向量的数量积基本不等式F3 E6【答案】【解析】A解析：因为均为单位向量，所以，整理可得，即，所以的最大值是2，故选择A.【思路点拨】将向量进行平方，根据均为单位向量，可得，在根据基本不等式求得，即可得的最大值是2.F4 单元综合【数学理卷2015届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（201411）word版】12已知若，则_【知识点】向量垂直的性质；向量数量积的坐标运算. F4 【答案】【解析】-1或3解析：，所以，又，解得：x= -1或x=3.【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为0，得关于x 的方程求解.