1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第7讲 离散型随机变量及分布列考纲展示三年高考总结1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念了解分布列对于刻画随机现象的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用从近三年高考情况来看，离散型随机变量及其分布列是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择题、填空题，属中档题，常与排列组合、概率等知识综合命题，解题时，应通过题意充分理解随机变量的含义掌握并利用分布列的两条性质进行解决相关问题，能够确定随机变量取各个值的概率，列出分布列.考点多维探究考点 1 离散型随机变量的性质 回扣教材1.随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而
2、的变量，常用字母 X，Y，表示(2)离散型随机变量：所有取值可以的随机变量变化一一列出2离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时也用等式 P(Xxi)pi，i1,2，n 表示 X 的分布列(2)分布列的性质pi0，i1,2,3，n；i1npi1.3必记结论(1)随机变量的线性关系若 X 是随机变量，YaXb，a，b 是常数，则 Y 也是随机变
3、量(2)分布列性质的两个作用利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值随机变量 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率小题快做1.思考辨析(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于 1.()(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出()2教材改编设随机变量 X 的分布列如下：X12345P112161316p则 p 为()A.16B.13C.14D 112解析 由分布列的性质可得：112161316p1 得 p14.310 件产品中有 3 件次品，从中
4、取 2 件可作为随机变量的是()A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数D取到次品的频率解析 由离散型随机变量定义可得典例1 (1)离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn)ann1(n1,2,3,4)，其中 a 是常数，则P12X52 的值为()A.23B34C.45D56(2)设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求随机变量|X1|的分布列答案(2)由分布列的性质，知 0.20.10.10.3m1，m0.3.列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P
5、(3)P(X4)0.3.因此|X1|的分布列为：0123P0.10.30.30.3解析(1)由112 123 134 145 a1，知45a1.a54.故 P12X7)P(X8)P(X9)P(X10)P(X7)0.280.290.220.79.32015昆明模拟某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著三国演义水浒传西游记红楼梦与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得 2 分，连错一个得1 分，某观众只知道三国演义的作者是罗贯中，其他不知道便随意连线，将他的得分记作.(1)求该观众得分 为负数的概率；解(1)当该观众只连对三国演义，
6、其他全部连错时，得分为负数，此时 1，故得分为负数的概率为P(1)2A3313.(2)求 的分布列解(2)的可能取值为1,2,8.P(2)3A3312，P(8)1A3316.所以 的分布列为128P131216离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度.命题角度 1 与排列组合有关的分布列的求法典例2 2014重庆高考一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；解(1)
7、由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 pC34C33C39 584.(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列(注：若三个数 a，b，c 满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数)解(2)X 的所有可能值为 1,2,3，且P(X1)C24C15C34C391742，P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384，P(X3)C22C17C39 112，故 X 的分布列为X123P17424384112命题角度 2 与频率分布直方图有关的分布列的求法典例3 2013课标全国卷经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润500 元，未售
8、出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；解(1)当 X100,130)时，T500X300(130X)800X39000，当 X130,150时，T50013065000.所以 T800X39000，100X130，65000，130X150.(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率；解(2)由(1)知利润 T
9、不少于 57000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7.(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X100,110)，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T 的数学期望解(3)依题意可得 T 的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以 E(T)450000.1530000.2610000.365
10、0000.459400.命题角度 3 与互斥事件有关的分布列的求法典例4 2015泰安模拟某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；解(1)P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 1 件)120 520 310.(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望解(2)由题意知，X 的可能取值为
11、 2,3.P(X2)P(当天商品销售量为 1 件)52014；P(X3)P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 2 件)P(当天商品销售量为 3 件)120 920 52034.故 X 的分布列为X23P1434X 的数学期望为 E(X)214334114.命题角度 4 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法典例5 2014安徽高考甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；解 用 A 表示“
12、甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”，Ak表示“第 k 局甲获胜”，Bk表示“第 k 局乙获胜”，则 P(Ak)23，P(Bk)13，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2321323223132325681.(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望)解(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B
13、3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)1081，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881.故 X 的分布列为X2345P59291081881E(X)259329410815 88122481.命题角度 5 超几何分布典例6 2014天津高考某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取3 名同
14、学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；解(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)C13C27C03C37C3104960.所以，选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率为4960.(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望解(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(Xk)Ck4C3k6C310(k0,1,2,3)所以，随机变量 X 的分布列是X0123P1612310130随机变量 X 的数学期望 E(X)0161122 3103
15、13065.离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略(1)与排列组合有关分布列的求法可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列(2)与频率分布直方图有关分布列的求法可由频率估计概率，再求出分布列(3)与互斥事件有关分布列的求法弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列(4)与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列(5)超几何分布的特点超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布超几何分布主要用于抽检产品
16、、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型【跟踪训练】32015乌鲁木齐模拟某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的 6 名男生和 9 名女生的身高，数据用茎叶图表示如下(单位：cm)应聘者获知：男性身高在区间174,182，女性身高在区间164,172的才能进入招聘的下一环节【跟踪训练】32015乌鲁木齐模拟某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的 6 名男生和 9 名女生的身高，数据用茎叶图表示如下(单位：cm)应聘者获知：男性身高在区间174,182，女性身高在区间164,172的才能进入招聘的下一环节(1)求 6 名男生的平均身高和 9 名女生身高的中位数；解(1)6
17、名男生的平均身高是1761731781861801936181 cm.9 名女生身高的中位数为 168 cm.(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取 2 人，记 X 为抽取到的男生人数，求 X 的分布列及期望 E(X)解(2)能进入下一环节的男生有 3 人，女生有 4 人故 X 的所有可能取值是 0,1,2.则 P(X0)C24C2727；P(X1)C14C13C27 47；P(X2)C23C2717.所以 X 的分布列为X012P274717故 X 的期望 E(X)02714721767.4从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活动(1)求所选 3 人中恰有一名男生
18、的概率；解(1)所选 3 人中恰有一名男生的概率PC25C14C39 1021.(2)求所选 3 人中男生人数 的分布列解(2)的可能取值为 0,1,2,3.P(0)C35C39 542，P(1)C25C14C39 1021，P(2)C15C24C39 514，P(3)C34C39 121.故 的分布列为0123P5421021514121方法与技巧1对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排
19、列组合与概率知识求出 取各个值的概率失误与防范掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误微专题规范答题离散型随机变量的分布列典例 盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3个第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1
20、个球(假设取到每个球的可能性都相同)记第一次与第二次取得球的标号之和为.(1)求随机变量 的分布列；解(1)由题意可得，随机变量 的取值是 2,3,4,6,7,10.(2 分)且 P(2)0.30.30.09，P(3)C120.30.40.24，P(4)0.40.40.16，P(6)C120.30.30.18，P(7)C120.40.30.24，P(10)0.30.30.09.(8 分)故随机变量 的分布列为2346710P0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09(10 分)(2)求随机变量 的均值解(2)随机变量 的均值E()20.0930.2440.1660.1870.24100.095.2.(12 分)满分心得(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1.课后课时作业
