1、第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.3直线与圆的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.直线(m-1)x+(m-3)y-2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切答案D解析圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由x+y=0,x+3y+2=0,得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1),代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.2.过点(1,0)且倾斜角为30的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为()A
2、.32B.1C.3D.23答案C解析根据题意,设过点(1,0)且倾斜角为30的直线为l,其方程为y=tan30(x-1),即y=33(x-1),变形可得x-3y-1=0,圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径r=1,设直线l与圆交于点A,B,圆心到直线的距离d=|2-1|1+3=12,则|AB|=21-14=3,故选C.3.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为()A.y-2=0B.x+2y-5=0C.2x-y=0D.x-1=0答案B解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直
3、线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为()A.0或4B.0或3C.-2或6D.-1或3答案A解析由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为22,所以圆心到直线的距离d=22-2222=2.又d=|a-2|2,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.5.已知直线l:3x+4y+m=0(m0)被圆C:x2+y2+2x-2y-6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍,则m等于()A.6B.8C.11D.9答
4、案D解析圆C:x2+y2+2x-2y-6=0可化为(x+1)2+(y-1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为22,由题意可知,圆心到直线的距离d=|1+m|5=2.m0,m=9.6.直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为;由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,切线长的最小值为.答案6102解析圆C:x2+y2=2的圆心坐标为C(0,0),半径r=2.圆心C到直线x+y+1=0的距离d=|1|2=22.直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为2(2)2-222=6.圆心C到直线x+y+3=0的距离d1=|3|2=322,则由直线x+y+3=0上的一点向圆C引
5、切线,切线长的最小值为3222-(2)2=102.7.已知对任意实数m,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m分别与圆C:(x-1)2+(y-m)2=1相交于A,C和B,D,则四边形ABCD的面积为.答案2解析由题意,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m交于圆心(1,m),且互相垂直,四边形ABCD是正方形,四边形ABCD的面积为41211=2.8.过点A(3,5)作圆x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是.答案x+y-8=0解析将圆x2+y2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆
6、心为M(2,4),则点A在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短.kAM=5-43-2=1,这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),即x+y-8=0.9.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27,求此圆的方程.解因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有|3b-b|22+(7)2=9b2,解得b=1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.10.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=3,直线l过原点O.(1)
7、若直线l与圆C相切,求直线l的斜率;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(-2,0).若APBP,求直线l的方程.解(1)由题意知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx.由直线l与圆C相切,得|2k-2|k2+1=3,整理为k2-8k+1=0,解得k=415.(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由(1)知直线l的方程为y=kx.联立方程(x+2)2+(y+2)2=3,y=kx,消去y整理为(k2+1)x2+(4k+4)x+5=0,所以x1+x2=-4k+4k2+1,x1x2=5k2+1,y1y2=5k2k2+1,由PA=(x1+2,y1),PB=(x
8、2+2,y2),则PAPB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4,代入化简得PAPB=5k2+1-8k+8k2+1+5k2k2+1+4=9k2-8k+1k2+1,由APBP,有PAPB=0,得9k2-8k+1=0,解得k=479,则直线l的方程为y=4+79x或y=4-79x.关键能力提升练11.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+2=0的距离为1的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,圆心到直线l:x+y+2=0的距离d=
9、|-1+1+2|12+12=12,结合图形可知,圆上有三点到直线l的距离为1.12.(多选)已知点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,若PAQ的最大值为60,则点A的坐标可以是()A.(4,6)B.(2,8)C.(6,4)D.(8,2)答案AD解析点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,如图,圆的半径为2,所以直线上的A到圆心的距离为4,结合图形,可知A的坐标(4,6)与(8,2)满足题意.13.设圆C:x2+y2-2x-3=0,若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦,则线段PC长度
10、的最大值为()A.10B.23C.4D.26答案C解析化圆C:x2+y2-2x-3=0为(x-1)2+y2=4,连接AC,BC,设CAB=02,连接PC与AB交于点D,AC=BC,PAB是等边三角形,D是AB的中点,得PCAB,在圆C:(x-1)2+y2=4中,圆C的半径为2,|AB|=4cos,|CD|=2sin,在等边PAB中,|PD|=32|AB|=23cos,|PC|=|CD|+|PD|=2sin+23cos=4sin+34.14.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则圆心坐标为,四边形ABCD的面积为.答案(1,3)102解析圆的方程化
11、为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,易知点E在圆内,由圆的性质可知最长弦|AC|=210,最短弦BD恰以E(0,1)为中点,且与AC垂直,设点F为其圆心,坐标为(1,3).故|EF|=5,|BD|=210-(5)2=25,S四边形ABCD=12|AC|BD|=102.15.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y=-x2-4x-3+1有公共点,则实数k的取值范围是.答案9-178,32解析曲线y=-x2-4x-3+1可化为(x+2)2+(y-1)2=1(1y2),设点C(1,4),如图所示,当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点B为直线l
12、与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切.直线l的方程为y=k(x-1)+4,在点B处有|k(-2-1)+4-1|k2+(-1)2=1,解得k=9-178或9+178(舍),而直线AC的斜率为4-11-(-1)=32,k9-178,32.16.过点P(4,-4)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦AB的长度为8,求直线l的方程.解圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=52,圆心C(1,2),半径r=5.由圆的几何性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形,圆心到直线l的距离d=r2-|AB|22=52-42=3.当直线lx轴时,l过点P(4,-
13、4),直线l的方程为x=4.点C(1,2)到直线l的距离d=|4-1|=3,满足题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y+4=k(x-4),即kx-y-4k-4=0,|k-2-4k-4|k2+(-1)2=3,解得k=-34.直线l的方程为y+4=-34(x-4),即3x+4y+4=0.综上所述,直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0.17.直线y=kx与圆C:x2+y2-6x-4y+10=0相交于不同的两点A,B,当k取不同实数值时,求AB中点的轨迹.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+y12-6x1-4y1+10=0,x22+y22-6x2-4y2+10=0.-得(x
14、12-x22)+(y12-y22)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0.设AB的中点坐标为(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.代入上式,有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0,即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0.所以x-3y-2=-y1-y2x1-x2=-k.又因为y=kx,由得x2+y2-3x-2y=0.故所求轨迹为圆x2+y2-3x-2y=0位于圆C:x2+y2-6x-4y+10=0内的一段弧.学科素养拔高练18.已知A,B为圆C:(x+1)2+(y-1)2=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(
15、x-5),若线段AB的中点D关于原点的对称点为D,若直线l上任一点P,都有|PD|1,则实数k的取值范围是.答案-,4-6274+627,+解析|AB|=2,且圆C:(x+1)2+(y-1)2=5的半径为5,AB的中点D到圆心(-1,1)的距离为(5)2-12=2,则D的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4.线段AB的中点D关于原点的对称点为D,D的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4.要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD|1,则|k+1-5k|k2+1-21,解得k4-627或k4+627.实数k的取值范围是-,4-6274+627,+.19.已知直线l:(2m+1)x
16、+(m+1)y-7m-4=0(mR)和圆C:x2+y2-8x-6y+5=0.(1)求证:直线l恒过一定点M;(2)试求当m为何值时,直线l被圆C所截得的弦长最短;(3)在(2)的前提下,直线l是过点N(-1,-2)且与直线l平行的直线,求圆心在直线l上,且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程.(1)证明由直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得m(2x+y-7)+x+y-4=0,联立2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1,直线l恒过一定点M(3,1).(2)解要使直线l被圆C所截得的弦长最短,则lCM,化圆C:x2+y2-8x-6y+5=0为(x-4)2+(y-3)2=20,可得C(4,3),则kCM=3-14-3=2,-2m+1m+1=-12,解得m=-13.(3)解由(2)得,直线l:y+2=-12(x+1),即x+2y+5=0.如图,过C与直线x+2y+5=0垂直的直线方程为y-3=2(x-4),即2x-y-5=0.联立x+2y+5=0,2x-y-5=0,解得x=1,y=-3,而C到直线x+2y+5=0的距离d=|4+6+5|5=35,所求圆的半径为35-25=5.故圆心在直线l上,且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=5.
