1、第二章第八节一、选择题1(2013济南模拟)对于任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，那么x的取值范围是()A(1,3)B(，1)(3，)C(1,2)D(3，)答案B分析f(x)为二次函数，a为参数，当a1,1时，f(x)0恒成立，可用转化思想转化为一次函数g(a)(x2)ax24x4来研究，也可以在1,1上取a的值检验解析令g(a)(x2)ax24x4，a1,1时，g(a)0恒成立，且x2时，g(a)0.或x3或x0)，即点(a，b)的轨迹方程为x2y0(y0)，其轨迹为直线的一部分3(2014四川成都树德中学期中)若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，4，则m的
2、取值范围是()A(0,4B，3C，4D，)答案B解析二次函数yx23x4的对称轴是x，开口向上，最小值是ymin，在x处取得，所以由函数的值域是，4，可知m应该在对称轴的右边，当函数值是4时，对应的自变量的值是x0或x3，如果m比3大，那么函数值就超出，4的范围，所以m的取值范围是，34若方程x22mx40的两根满足一根大于2，一根小于2，则m的取值范围是()A(，)B(，)C(，2)(2，)D(2，)答案D解析设f(x)x22mx4，则题设条件等价于f(2)0，即44m42，故选D.5(2013烟台期中)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L
3、22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606B45.6C45.56D45.51答案B解析依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15x)辆，总利润S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(x0)当x10时，Smax45.6(万元)6函数f(x)对任意xR，满足f(x)f(2x)如果方程f(x)0恰有2013个实根，则所有这些实根之和为()A0B2013C4026D8052答案B解析xR时，f(x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，实根之和为120132013.二、填空题7设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
4、在区间1，1上，f(x)其中a、bR，若f()f()，则a3b的值为_答案10解析f(x)的周期为2，则f()f(2)f()，f()f()，代入可得3a2b2.同理f(1)f(12)f(1)，化简得b2a，两式联立解得a2，b4，a3b23(4)10.充分利用函数周期性的性质，将所求函数值转化为已知区间内的函数值8若函数f(x)axb(a0)的一个零点是1，则函数g(x)bx2ax的零点是_答案0或1解析由题意知axb0(a0)的解为x1，ba，g(x)ax2axax(x1)，令g(x)0，则x0或x1.9(2014辽宁沈阳质量监测)定义运算：xy例如：343，(2)44，则函数f(x)x2(
5、2xx2)的最大值为_答案4解析由2xx20得0x2，由“xy”的定义知，当0x2时，f(x)x24；当x2时，f(x)2xx20，f(x)的最大值为4.三、解答题10已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数分析由条件知f(x)的图象过点(2，1)和(1，1)，且顶点纵坐标为8，故可设出一般式求解解析设f(x)ax2bxc(a0)，依题意有解之得，所求二次函数为y4x24x7.点评求二次函数的解析式时，一定要先分析已知条件，确定要选取的解析式的形式如果注意到f(2)1和f(1)1的特点，可知f(x)的对称轴方程为x，令g(x)f(x)1，则2和1
6、为g(x)的两个零点，且g(x)的最大值为9，据此又可得到不同的解答.一、选择题11设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(，0B2，)C(，02，)D0,2答案D解析二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f (x)2a(x1)0，即函数的图象开口向上，对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.12(2013郑州第一次质量预测)图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0hH)，则该函数的大致图象是()答案B解析由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结
7、合选项可知选B.13(2014北京朝阳上学期期末)函数f(x)x23x的图象为曲线C1，函数g(x)4x2的图象为曲线C2，过x轴上的动点M(a,0)(0a3)作垂直于x轴的直线分别交曲线C1，C2于A，B两点，则线段AB长度的最大值为()A2B4C5D答案D解析过点M(a,0)(0a3)作垂直于x轴的直线，方程为xa，与曲线C1的交点A(a，a23a)，与曲线C2的交点B(a,4a2)，所以|AB|(a23a)(4a2)|2a23a4|2(a)2|.因为0a3，所以2(a)25，所以0|2(a)2|，所以|AB|max.14(2013昆明重点中学检测)在R上定义运算：xyx(1y)若对任意x
8、2，不等式(xa)xa2都成立，则实数a的取值范围是()A1,7B(，3C(，7D(，17，)答案C分析先依据的定义将不等式等价转化为一元二次不等式，然后利用二次函数的图象与性质讨论二次不等式在(2，)上恒成立时，a的取值范围解析由题意得(xa)x(xa)(1x)，故不等式(xa)xa2可化为(xa)(1x)a2，化简得x2(a1)x2a20，故原题等价于x2(a1)x2a20在(2，)上恒成立，二次函数f(x)x2(a1)x2a2图象的对称轴为x，讨论得或，解得a3或3a7，综上可得，a7.二、填空题15(2015深圳市五校联考)若不等式x2|x1|a的解集是区间(3,3)的子集，则实数a的
9、范围为_答案(，5解析不等式x2|x1|a等价于x2|x1|a0，设f(x)x2|x1|a，若不等式x2，不合题意，1.三、解答题17已知函数f(x)ax2(b8)xaab(a0)，当x(3，2)时，f(x)0；当x(，3)(2，)时，f(x)0.(1)求f(x)在0,1内的值域；(2)c为何值时，不等式ax2bxc0在1,4上恒成立解析(1)由题意得x3和x2是函数f(x)的零点且a0，则解得，f(x)3x23x18.(1)如图，由图象知，函数f(x)在0,1内单调递减，当x0时，y18，当x1时，y12，f(x)在0,1内的值域为12,18(2)解法1：令g(x)3x25xc.g(x)在上
10、单调递减，要使g(x)0在1,4上恒成立，则需要g(x)maxg(1)0，即35c0，解得c2.当c2时，不等于ax2bxc0在1,4上恒成立解法2：不等式3x25xc0在1,4上恒成立，即c3x25x，在1,4上恒成立令g(x)3x25x，x1,4，g(x)在1,4上单调递增，g(x)ming(1)312512，c2.18(2015江西赣州博雅文化学校月考)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5)，且f(x)在区间1,4上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在正整数m，使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由解析(1)因为f(x)是二次函数，且f(x)0)所以f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)6a，由已知得6a12，a2.f(x)2x(x5)2x210x(xR)(2)方程f(x)02x310x2370，设h(x)2x310x237，则h(x)6x220x2x(3x10)当x(0，)时，h(x)0，h(x)是增函数因为h(3)10，h()0.所以方程h(x)0在区间(3，)，(，4)内分别有唯一实数根，而区间(0,3)，(4，)内没有实数根所以存在唯一的正数m3，使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不等的实数根
