1、2015-2016学年吉林省吉化三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A开口向右，焦点为（1，0）B开口向上，焦点为（0，1）C开口向上，焦点为（0，）D开口向右，焦点为（，0）2命题“对任意的xR，都有x23=0”的否定为是（）A存在xR，使x23=0B存在xR，使x230C对任意的xR，都有x230D存在xR，使x2+303命题P：“A30”是命题Q：“sinA”的（）条件A充要B必要不充分C充分不必要D既不充分也不必要4等比数列an中，S2=7，S6=91，则S4=（）A28B32C35D495在200m高的山顶上，
2、测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（）A mB mC mD m6若0（a，bR），则下列不等式恒成立的是（）AabBa+babC|a|b|Dabb27在ABC中，若A=60，B=45，则AC=（）ABCD8若直线2axby+2=0 （a0，b0）恰过（1，1），则的最小值为（）ABC2D49已知直线axby+2=0与曲线y=x31在点P（1，0）处的切线垂直，则=（）ABCD10已知数an满a1=0，an+1=an+2n，那a2016的值是（）A20142015B20152016C20142016D2015201511过y2=2px焦点F的直线交抛物线于A，B，若|BF|
3、=，|AF|=，则抛物线方程（）Ay2=xBy2=2xCy2=3xDy2=4x12已知A，B，P是上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则的离心率（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设mR，若函数f（x）=exln2，则f（0）=_14若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为_15曲线f（x）=x3x+2在点（1，f（1）处的切线方程为_16关于x的不等式ax22ax+10的解集为R，则实数a的取值范围为_三、解答题（本大题6小题，共70分，）17已知等差数列an的前n项和为Sn，5a4+4a5=22，S6=2a45（1）求数列
4、an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn18ABC中，a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C的对边，2b=c+2acosC（1）求A（2）SABC=，a=，求b+c19已知函数f（x）=mx3nx2+kx（m0）在x=1，x=1时取得极值，且f（1）=1（1）求常数m，n，k的值；（2）求函数的单调区间20P（，1）是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|=2，若抛物线的顶点是双曲线的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求双曲线的渐近线与抛物线的准线方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说
5、明理由21已知椭圆短轴长2，离心率（1）求椭圆的方程；（2）若y=kx+m与x2+y2=相切，与椭圆交于A，B两点，当A，B两点横坐标不相等时，证明以AB为直径的圆恰过原点O22已知f（x）=x2ex3，g（x）=f（x）+ex（x1）（1）求函数f（x）极值；（2），求h（x）最小值（3）求g（x）单调区间，（4）求证：x0时，不等式g（x）1+lnx2015-2016学年吉林省吉化三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A开口向右，焦点为（1，0）B开口向上，焦点为（0，1）C开口向上，焦点为（0，）D
6、开口向右，焦点为（，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线的性质写出结果即可【解答】解：抛物线y=4x2，可知抛物线的开口向上，抛物线化为：x2=y，焦点坐标为：（0，）故选：C2命题“对任意的xR，都有x23=0”的否定为是（）A存在xR，使x23=0B存在xR，使x230C对任意的xR，都有x230D存在xR，使x2+30【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意的xR，都有x23=0”的否定为是：存在xR，使x230故选：B3命题P：“A30”是命题Q：“sinA”的（）条件A充要B必要不
7、充分C充分不必要D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用充要条件的定义，先判断充分性，在判断必要性即可【解答】解：由A30得不出sinA，比如A=160，A30不是sinA的充分条件；由sinA，得到不得到A30，例如A=270，sinA不是A30必要条件故选：D4等比数列an中，S2=7，S6=91，则S4=（）A28B32C35D49【考点】等比数列的性质【分析】利用等比数列中每相邻两项的和也成等比数列可得 7，S47，91S4 成等比数列，故有（S47）2=7（91S4），由此求得S4的值【解答】解：正项等比数列an中，若S2=7，S6=91，由于每相邻两
8、项的和也成等比数列，S2、S4S2、S6S4 成等比数列，即 7，S47，91S4 成等比数列=7（91S4），解得 S4=28，故选：A5在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（）A mB mC mD m【考点】解三角形的实际应用【分析】先画出简图，然后从塔顶向山引一条垂线CM，根据根据直角三角形的正切关系得到AB=BDtan60，AM=CMtan30，进而可得到AM的长，再相减即可【解答】解：依题意可得图象，从塔顶向山引一条垂线CM则AB=BDtan60，AM=CMtan30，BD=CMAM=所以塔高 CD=200=m故选A6若0（a，bR），则下列
9、不等式恒成立的是（）AabBa+babC|a|b|Dabb2【考点】不等式的基本性质【分析】由0（a，bR），可得ab0，即可ba【解答】解：0（a，bR），ab0，ba，abb2故选：D7在ABC中，若A=60，B=45，则AC=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC【解答】解：根据正弦定理，则故选B8若直线2axby+2=0 （a0，b0）恰过（1，1），则的最小值为（）ABC2D4【考点】基本不等式【分析】直线2axby+2=0 （a0，b0）恰过（1，1），可得：2a+b=2再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：直线2axby+2=0 （a
10、0，b0）恰过（1，1），2ab+2=0，即2a+b=2则=（2a+b）=（4+）=4，当且仅当b=2a=1时取等号故选：D9已知直线axby+2=0与曲线y=x31在点P（1，0）处的切线垂直，则=（）ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由两直线平行垂直的条件：斜率之积为1，即可得到所求值【解答】解：y=x31的导数为y=3x2，即有在点P（1，0）处的切线斜率为3，由直线axby+2=0与切线垂直，可得=故选B10已知数an满a1=0，an+1=an+2n，那a2016的值是（）A20142015B20152016C20142016D20
11、152015【考点】数列递推式【分析】通过an+1=an+2n可知anan1=2（n1），an1an2=2（n2），an2an3=2（n3），a2a1=2，累加计算，进而可得结论【解答】解：an+1=an+2n，an+1an=2n，anan1=2（n1），an1an2=2（n2），an2an3=2（n3），a2a1=2，累加得：ana1=21+2+3+（n1）=2=n（n1），又a1=0，an=n（n1），a2016=2016=20152016，故选：B11过y2=2px焦点F的直线交抛物线于A，B，若|BF|=，|AF|=，则抛物线方程（）Ay2=xBy2=2xCy2=3xDy2=4x【考点
12、】抛物线的简单性质【分析】根据|BF|=，|AF|=，利用抛物线的定义可得A，B的横坐标，利用=，求得p的值即可求出抛物线的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|BF|=，|AF|=，根据抛物线的定义可得x1=，x2=，=49（）=25（），p=1抛物线方程为y2=2x故选：B12已知A，B，P是上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则的离心率（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率【解答】解：根据椭圆的对称性可知A，B
13、关于原点对称，设A（x1，y1），B（x1，y1），P（x，y），则，由和=1两式相减，得： =，设a=3k，则b=2k，c=，e=故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设mR，若函数f（x）=exln2，则f（0）=1【考点】导数的运算【分析】利用导数的运算法求导，再代值计算即可【解答】解：f（x）=ex，f（0）=e0=1，故答案为：114若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2x+y
14、得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=23+2=8即z=2x+y的最大值为8故答案为：815曲线f（x）=x3x+2在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）=x3x+2的导数为f（x）=3x21，即有在点（1，f（1）处的切线斜率为2，切点为（1，2），则在点（1，f（1）处的切线方程为y2=2（x1），即为y=2x故答
15、案为：y=2x16关于x的不等式ax22ax+10的解集为R，则实数a的取值范围为0，1【考点】一元二次不等式的解法【分析】对a分类讨论，利用一元二次不等式的解集与的关系即可得出【解答】解：a0时，由题意得，即，解得0a1；当a=0时，恒有10，不等式也成立；综上所述，a的取值范围是0，1故答案为：0，1三、解答题（本大题6小题，共70分，）17已知等差数列an的前n项和为Sn，5a4+4a5=22，S6=2a45（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式列出方程，解出a1，d，解出即可得出（2）=n，再
16、利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，5a4+4a5=22，S6=2a45，解得a1=1，d=1an=1（n1）=2n（2）=n，数列bn的前n项和Tn=18ABC中，a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C的对边，2b=c+2acosC（1）求A（2）SABC=，a=，求b+c【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2cosAsinC，由C为三角形内角，sinC0，解得cosA=，结合范围A（0，），即可求得A的值（2）利用已知即三角形面积公式可求bc=4，利用余弦定理可得13=（b+c
17、）212，即可得解b+c的值【解答】解：（1）2b=c+2acosC由正弦定理可得：2sinB=sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC，可得：sinC=2cosAsinC，C为三角形内角，sinC0，解得cosA=，A（0，），A=（2）SABC=bcsinA=bc=，解得：bc=4，A=，a=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：13=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）212，解得：b+c=519已知函数f（x）=mx3nx2+kx（m0）在x=1，x=1时取得极值，且f（1）=1（1）求常数m，n，k的值；（2）求函数的单调区间【考点】
18、利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导函数，利用函数的极值点，以及函数在列出方程求解即可（2）求出函数的导数，利用极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求出单调区间【解答】解：（1）函数f（x）=mx3nx2+kx，可得f（x）=3mx22nx+k，在x=1，x=1时取得极值，且f（1）=1可得，解得m=，k=，n=0得，（2）由（1）得，所以令f（x）=0得x=1当x变化时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（，1）1（1，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x=1时，f（x）有极大值f（1）=1；当
19、x=1时，f（x）有极小值f（1）=1所以，f（x）的单调递增区间是（，1），（1，+）；单调递减区间是（1，1）20P（，1）是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|=2，若抛物线的顶点是双曲线的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求双曲线的渐近线与抛物线的准线方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）利用双曲线的定义求出a，经过的点，求出b，即可求解双曲线x2y2=1，利用双曲线与抛物线的关系求出抛物线方程（2）由于以点C（2，1）为MN中点的直线l
20、斜率必存在，设为k（k0），将l的方程与抛物线的方程y2=4x联立，消去x，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理求出k，得到直线l的方程【解答】解：（1）P（，1）是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|=2，可得a=1，解得：b=1，双曲线x2y2=1抛物线的顶点是双曲线的中心，焦点是双曲线的右顶点可得p=2，抛物线的标准方程为y2=4x（2）使得C恰为弦MN的中点的直线存在理由如下：由于以点C（2，1）为MN中点的直线l斜率必存在，设为k（k0），则l的方程为：y1=k（x2），即y=kx+12k将l的方程与抛物线的方程y2=4x联立，消去x得：ky24y+48k=0设M（x1
21、，y1），N（x2，y2），则y1，y2是方程的解且y1+y2=2，又由韦达定理得，k=2经验证k=2时，方程的0成立，直线l的方程为2xy3=021已知椭圆短轴长2，离心率（1）求椭圆的方程；（2）若y=kx+m与x2+y2=相切，与椭圆交于A，B两点，当A，B两点横坐标不相等时，证明以AB为直径的圆恰过原点O【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）椭圆短轴长2，离心率，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程（2）由y=kx+m与x2+y2=相切，得m2=，联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式能证明以AB
22、为直径的圆恰过原点O【解答】解：（1）椭圆短轴长2，离心率，解得b=1，a=，c=1，椭圆的方程为证明：（2）由题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，y=kx+m与x2+y2=相切，圆心（0，0）到直线y=kx+m的距离d=，m2=，联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，=8（2k2+1m2）0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），得，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=x1x2+y1y2=0，以AB为直径的圆恰过原点O22已知f（x）=x2ex3，g（x）=f（x）+ex（x1）（1）求函数f（x）极值；（2），求h（x）最小值（3）求g（x）单调
23、区间，（4）求证：x0时，不等式g（x）1+lnx【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出导数，令它大于0，得增区间，令小于0，得减区间，判断极小值和极大值；（2）求出h（x）的表达式，得到h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）写出g（x）的表达式，求导数，得到g（x）=x（ex+1ex），令y=ex+1ex，应用导数证明y0恒成立，再解不等式g（x）0，g（x）0求出单调区间；（4）当x0时，令h（x）=1+lnx+ex2xexx，求出导数h（x），当x=1时，h（x）=0，由（）得，exex0，讨论当x1时
24、，当0x1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证【解答】解：（1）函数f（x）=x2ex3，f（x）=xex2=x（1ex），f（x）0得0x；f（x）0得x或x0则f（x）在x=0处取极小值，且为f（0）=0，f（x）在x=处取极大值，且为f（）=（2）f（x）=x2ex3，g（x）=f（x）+ex（x1）=x2ex3+ex（x1），g（x）=xex2+ex（x1）+ex，则g（x）=x（ex+1ex），=（ex+1ex），h（x）=exe，令h（x）0，解得：x1，令h（x）0，解得：x1，h（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，h（x）最小值=h（1）=1；（3）由（2）得
25、：g（x）=f（x）+ex（x1）=x2ex3+ex（x1），g（x）=xex2+ex（x1）+ex，则g（x）=x（ex+1ex），令y=ex+1ex，则y=exe，y0，得x1，y0，得x1，则x=1取极小，也是最小，则y1即ex+1ex0恒成立，则g（x）0得x0；g（x）0得x0故g（x）的增区间为（0，+），减区间为（，0）（4）证明：当x0时，1+lnxg（x）=1+lnx+ex2xexx，令h（x）=1+lnx+ex2xexx，h（x）=+2ex1exxex，当x=1时，h（x）=0，由（）得，exex0，当x1时，h（x）0，当0x1时，h（x）0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0故当x0时，h（x）h（1），即有h（x）0，故当x0时，1+lnxg（x）0，即g（x）1+lnx2016年9月18日
