1、第三章3.23.2.3 一、选择题1平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是导学号 64150805 ()A0180B090C090D090答案D解析由斜线和平面所成的角定义知选D.2直线l与平面成45角，若直线l在内的射影与内的直线m成45角，则l与m所成的角是导学号 64150806 ()A30B45C60D90答案C解析设145，245，由coscos1cos2得cos，60.故选C.3已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PAPBPC，AB1，则PC和平面ABC所成的角是导学号 64150807 ()A90B60C45D30答案D解析作PO平面ABC于O，由已知O为外心，且ABOC，
2、 PCO为所求，OC，PC，cosPCO，PCO30.4正方形纸片ABCD，沿对角线AC折起，使点D在面ABCD外 ，这时DB与平面ABC所成角一定不等于导学号 64150808 ()A30B45C60D90答案D解析当沿对角线AC折起时，BD在面ABC上的射影始终在原对角线上，若BD面ABC，则此时B、D重合为一点，这是不成立的，故选D.5正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是导学号 64150809 ()A.B.C.D.答案B解析计算得sin.故选C.6三棱锥PABC的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是ABC的外心，PAAB1，BC
3、，则PB与底面ABC所成角为导学号 64150810 ()A60B30C45D90答案B解析由AB1，BC，知AC，OA，又PA1，POAC，PO，OBOA，tan.应选B.二、填空题7在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_导学号 64150811答案解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n0，n0，即令z2，则y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)，sin|cos|.8若AB与平面成30角，且A，则AB与内不过点A的所有直线所成角中的最大
4、角_导学号 64150812答案90解析在平面内，过A点垂直于AB在平面内射影的直线与AB所成角最大，为90.三、解答题9(2015全国卷理，19)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形导学号 64150813(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解析(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18，因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10
5、.以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE(10,0,0)，HE(0，6,8)设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又AF(10,4,8)，故sin |cos n，AF|.所以直线AF与平面所成角的正弦值为.一、选择题1已知平面内的角APB60，射线PC与PA、PB所成角均为135，则PC与平面所成角的余弦值是导学号 64150814 ()AB.C.D答案B解析由三余弦公式知cos45coscos30，cos.2如图，在空间直角坐标系中有
6、直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为导学号 64150814 ()A.B.C.D.答案A解析本题考查了空间向量与空间角设CB1，则CACC12，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，|，|3，413，cos，故选A.3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为导学号 64150816 ()A. B.C. D.答案B解析以D为原点建立空间直角坐标系，平面BDE的法向量n(1，1,2)，而(0，1,1)，cos，30.直线A1
7、B与平面BDE成60角4如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为导学号 64150817 ()A.B.C.D.答案C解析以A为坐标原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AGC的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，则取z1，则x1，y1，即n(1，1,1)，(a，a,0)设GB与平面AGC所成角为，则sin.二、填空题5正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_导学号 64150818答案解析设三棱柱的棱长为1，以B
8、为原点，建立坐标系如图，则C1(0,1,1)，A，又平面BB1C1C的一个法向量n(1,0,0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为.sin|cosn，|，cos.6自平面外一点P向平面引垂线段PO及两条斜线段PA，PB，它们在平面内的射影长分别为2cm和12cm，且这两条斜线与平面所成的角相差45，则垂线段PO的长为_导学号 64150819答案4cm或6cm解析设PA，PB与所成角分别为1，2，且1245，又tan1，tan2，a4或6.7正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_导学号 64150820答案30解析如
9、图，以O为原点建立空直角坐标系Oxyz.设ODOSOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，由可求得n(0,1,1)，则cos，60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.三、解答题8.如图所示，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求SC与平面ABCD所成的角导学号 64150821解析解法1：如图所示，设n是平面的法向量，是平面ABCD的法向量，设与的夹角为.，()1.|1，|，cos.arccos.从而CS与平面ABCD所
10、成的角为arccos.解法2：连结AC，显然SCA即为SC与平面ABCD所成的角计算得：AC，tanSCA，故SC与平面ABCD所成角为arctan.9(2016全国卷理，19)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到DEF的位置，OD求二面角BDAC的正弦值解析如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方程为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n，sinm，n因此二面角BDAC的正弦值是
