1、课时素养检测十四向量数量积的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为,若tan =,则ab的值为 ()A.1B.2C.3D.-1【解析】选A.因为|a|=1,|b|=2,=,tan =,0,则=,所以ab=|a|b|cos=12=1.2.已知向量|a|=3|b|=ab=3,则下列结论正确的是()A.abB.abC.|a+b|=3D.|a-b|=3【解析】选B.已知向量|a|=3|b|=ab=3,则|b|=1,ab=|a|b|cos=3cos=3,所以cos=1,
2、因为0,所以=0,所以a=3b,ab,|a+b|=4,|a-b|=2.3.若e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断正确的是()A.e1e2=1B.e1e2=-1C.e1e2=1D.|e1e2|1【解析】选C.因为e1,e2是两个互相平行的单位向量,则当e1,e2方向相同时e1e2=|e1|e2|cos 0=1,当e1,e2方向相反时,e1e2=|e1|e2|cos =-1.综上所述,得e1e2=1.4.已知向量|a|=4,|b|=5,ab=-10,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.因为向量|a|=4,|b|=5,ab=-10,则cos=-,因为0,所以=.5.如图,
3、已知正六边形ABCDEF,下列向量的数量积中最大的是()A.B.C.D.【解析】选A.方法一:设正六边形的边长为2,则AC=2,=|cos 30=6,=|cos 60=4,=|cos 90=0,=|cos 120=-2.方法二:显然,向量在上投影的数量最大,所以最大.6.(多选题)已知等腰直角三角形ABC中,C=90,面积为1,则下列结论正确的是 ()A.=0B.=2C.=2D.|cos B=|【解析】选ABD.在等腰直角三角形ABC中,C=90,面积为1,则AC2=1,得AC=,得AB=2,所以=0,选项A正确.=|cos 45=2,选项B正确.=|cos 135=-2,选项C不正确.向量在
4、上投影的数量为|,即|cos B=|,选项D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知|a|=5,|b|=3,且ab=-12,则向量a在向量b上的投影数量等于.【解析】由于|a|=5,|b|=3,且ab=-12,所以向量a在向量b上的投影数量为|a|cos=|a|=-4,故向量a在向量b上的投影数量等于-4.答案:-48.已知正方形ABCD的边长为2,则向量在上的投影的数量为,在上的投影的数量为.【解析】方法一:因为正方形ABCD的边长为2,则向量在上的投影的数量为|cos 90=0,在上的投影的数量为|cos 135=2=-.方法二:如图,正方形ABCD的边长为2,则向量在上的投影的数量
5、为0,在上的投影的数量为,所以在上的投影的数量为-.答案:0-三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在平行四边形ABCD中,|=4,|=3,DAB=60.求:(1).(2).(3).【解析】(1)=|2=9.(2)=-|2=-16. (3)=|cos(180-60)=43=-6.10.已知|a|=2,b2=3,若(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为150,分别求ab.【解析】因为|a|=2,b2=3,所以|b|=.(1)当ab时,ab=|a|b|cos 0=21=2或ab=|a|b|cos 180=2(-1)=-2.(2)当ab时,ab=|a|b|cos 90=20=0.(3)
6、当a与b的夹角为150时,ab=|a|b|cos 150=2=-3.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若两个单位向量的数量积等于-1,则这两个单位向量的夹角为()A.0B.C.D.【解析】选D.设两个单位向量分别为e1,e2,则e1e2=cos=-1,由于0,所以=.2.已知a是非零向量,e是单位向量,则下列表示正确的是()A.ae=|a|B.ae|a|C.ae|a|D.|ae|a|【解析】选C.因为a是非零向量,e是单位向量,则ae=|a|e|cos=|a|cos|a|,|ae|a|.3.(多选题)下列关于两个
7、单位向量的数量积的说法正确的是()A.等于1B.不大于1C.不小于1D.不小于-1【解析】选BD.设两个单位向量分别为a,b,则ab=|a|b|cos=cos,因为0,所以cos-1,1.所以两个单位向量的数量积不大于1,且两个单位向量的数量积不小于-1.4.已知向量a在b上投影的数量为1,向量b在a上投影的数量为2,且a是单位向量,则ab=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为向量a在b上投影的数量为1,向量b在a上投影的数量为2,且a是单位向量,所以|a|cos=1,|b|cos=2,两式相比,得|b|=2|a|=2,所以ab=|a|b|cos=2|a|=2.【补偿训练】已知在AB
8、C中,AB=AC=4,=-8,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.依题意,得=|cosBAC,即8=44cosBAC,于是cosBAC=,所以BAC=60.又AB=AC,故ABC是等边三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知向量|b|=2,a在向量b相反方向上的投影的数量是-1,则ab+b2=.【解析】因为向量|b|=2,a在向量b相反方向上的投影的数量是-1,所以a在向量b方向上的投影的数量是1,即|a|cos=1,所以ab+b2=|a|b|cos+b2=(|a|cos)|b|+b2=12+4=6.答案:66.如图,已知扇形
9、AOB中弦长|AB|=,则=.【解析】根据扇形图,连接AB,作OMAB,如图所示,则|=|,根据数量积的几何意义可知,=|(-cos OAB)=-|=-=-.答案:-7.已知ABC外接圆的圆心为O,半径为1,若+2=0,且|=|,则=.【解析】如图,由+2=0,得+=2,所以O是AB的中点,因为ABC外接圆的圆心为O,所以AB是ABC外接圆的直径,ACB=90,且|=|=|=1,所以ABC=30,|=.所以=|cos 150=2=-3.答案:-38.在ABC中,|=13,|=5,|=12,则+=.【解析】因为|=13,|=5,|=12,所以|2=|2+|2,所以ACBC,且cos B=,cos
10、 A=,所以+=|cos(180-B)+0+|cos(180-A)=135+1213=-169.答案:-169三、解答题(共38分)9.(12分)如图,每个小方格的长度都是1,分别计算:,.【解析】方法一:每个小方格的长度都是1,|=1,|=,|=,|=2,=|cos 45=1,=|cos=1=1,=|cos=21=-2.方法二:每个小方格的长度都是1,|=1,根据向量数量积的几何意义,向量,在上投影的数量分别为1,1,-2,所以=|1=1,=|1=1,=|(-2)=-2.10.(12分)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,求ab+bc+ca的值.【解析
11、】因为向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,得|c|=|a+b|=|a|+|b|=4,所以a,b方向相同,a,c方向相反.所以ab+bc+ca=|a|b|cos 0+|b|c|cos +|c|a|cos =3-4-12=-13.11.(14分)已知ABC的面积为S满足2S3,且=3,求:(1)与夹角的取值范围.(2)角B的取值范围.【解析】(1)因为ABC中,=3,与夹角=-B,所以=|cos=3,即|cos =3,得|=.又S=|sin B=|sin(-)=|sin =tan ,由2S3得3tan 3,所以tan 1,由于0,所以.(2)由(1)得,-B,所以-B-,解得B.
