1、保山一中20182019学年下学期高二年级期末考试 理科数学试卷(考试时间:120分钟;满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设,则的共轭复数为( ) A B C D26把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A144 B120 C72 D243已知最小值是( )A B C D 4已知正三棱锥的外接球的半径为,且满足则正三棱锥的体积为( )A B C D 5已知函数( )A B C D 6若随机变量且的值为( )A B C D7已知10件产品有2件是次品为保证使2件次品全部检验出的概率超过
2、0.6,至少应抽取作检验的产品件数为( )A6 B7 C8 D98若,则的大小关系为( )A B C D9平面内有条直线,最多可将平面分成个区域,则的表达式为( )A B C D10设为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为.若,则( )A5 B6 C7 D811已知一系列样本点的回归直线方程为若样本点的残差相同,则有( )A B C D12设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为( )A B C D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知复数,则_; 14直线与圆相交的弦长为_;15二项式_;16已知,则有_(填上合情推理得到的式子)三、解答题(
3、本大题共6小题,17小题10分, 18-22题每小题12分,共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,且取相等的单位长度,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是设点()将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线的参数方程化为普通方程;()设直线与曲线相交于两点,求的值18我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关,采用简单随机抽样的办法在我校高一年级抽出一个有60人的班级进行问卷调查,得到如下的列联表:喜欢不喜欢合计男生18女生6合计60 已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是()请完成上面的列
4、联表;()根据列联表的数据,若按90%的可靠性要求,能否认为“喜欢与否和学生性别有关”?请说明理由参考临界值表: 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 19在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点,乙盒中放一球;若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次,设分别表示甲,乙,丙3个盒中的球数()求的概率;()记求随机变量的概率分布列和数学期望20已知数列 其中 .()写出数列的前6项;()猜想数列的单调性,并证明你的结论.21如图,四棱锥中,底面是梯形,
5、点()证明:;()若所成角的大小为,求二面角的正弦值22已知函数. ()求函数的单调区间;()若函数在;()若成立,求实数的取值范围.保山一中20182019学年下学期高二年级期末考试 理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案DDCACCCBCBCB二、填空题13 14 1570 16 三、解答题17解:() 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为: ,即 ; 直线的参数方程化为普通方程为: () 直线的参数方程化为标准形式为,将式代入,得: ,由题意得方程有两个不同的根,设是方程的两个根,由直线参数方程的几何意义知:18解:()列联表如下;喜欢不喜欢合计男生141832女
6、生62228合计204060()根据列联表数据,得到所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”19解:由题意知,每次抛掷骰子,球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为() 由题意知,满足条件的情况为两次掷出1点,一次掷出2点或3点, () 由题意知,可能的取值是0,1,2,3 故的分布列为:0123期望 20解:()由;由;由;由;由;()由()知猜想:数列是递减数列.下面用数学归纳法证明:当时,已证命题成立;假设当时命题成立,即.易知,当时,即.也就是说,当时命题也成立.根据可知,猜想对任何正整数都成立.21 解:解法一(向量法):建立空间直角坐标系,如图所示根据题设,可设,()证明:,
7、所以,所以,所以 ()解:由已知,平面的一个法向量为设平面的法向量为,由 即令,得而,依题意与平面所成角的大小为,所以,即,解得(舍去),所以设二面角的大小为,则,所以,所以二面角的正弦值为 解法二(几何法):()证明:因为平面,平面,所以又由是梯形,知,而,平面,平面,所以平面因为平面,所以又,点是的中点,所以因为,平面,平面,所以平面因为平面,所以 ()解:如图4所示,过作于,连接, 因为平面,平面,所以,则平面,于是平面平面,它们的交线是过作于,则平面,即在平面上的射影是,所以与平面所成的角是由题意,在直角三角形中,于是在直角三角形中,所以方法一:设二面角的大小为,则,所以,所以二面角的正弦值为 方法二:过作于,连接,由三垂线定理,得,所以为二面角的平面角,在直角三角形中,在直角三角形中,所以二面角的正弦值为 22解:由已知,函数,的定义域为 且.()函数,当;当.所以函数的单调减区间是. ()因在上为减函数,故在上恒成立.所以当时,. 又故当即 .所以.()命题“若”等价于“当” .由()知,当.问题等价于:“” . 当,由()知,上为减函数,则 .当,由于在上为增函数,故 .由的单调性和值域知,且满足:当;当;所以, .所以, 与矛盾,不合题意.综上,得 .