1、(二)填空题的解法 填空题是高考试题的第二题型.从历年的高考成绩以及平时的模拟考试可以看出，填空题得分率一直不是很高.因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：填空题没有备选项，因此，解答
2、时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.方法一 直接
3、法【例 1】设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2 的最小内角为 30，则 C 的离心率为_.解析 设 P 点在双曲线右支上，由题意得|PF1|PF2|6a，|PF1|PF2|2a，故|PF1|4a，|PF2|2a，则|PF2|F1F2|，得PF1F230，由2asin 304asin PF2F1，得 sin PF2F11，PF2F190，在 RtPF2F1 中，2c（4a）2（2a）22 3a，eca 3.答案 3探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活
4、处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.【训练 1】(1)设 为第二象限角，若 tan4 12，则 sin cos _.(2)(2015全国卷)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析(1)tan4 12，tan 13，即3sin cos，si
5、n2cos21，又 为第二象限角，解得 sin 1010，cos 3 1010.sin cos 105.(2)从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误.故选D.答案(1)105 (2)D方法二 特殊值法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定
6、值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.【例 2】(1)若 f(x)12 015x1a 是奇函数，则 a_.(2)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP3，则APAC_.解析(1)因为函数 f(x)是奇函数，且 1，1 是其定域内的值，所以 f(1)f(1)，而 f(1)12 014a，f(1)12 01511aa2 0152 014.故 a2 0152 014a12 014，解得 a12.(2)把平行四边形 ABCD 看成正方形，则点 P 为对角线的
7、交点，AC6，则APAC18.答案(1)12(2)18探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.【训练 2】如图，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，过点 M 的直线与直线 AB、AC 分别交于不同的两点 P、Q，若AP AB，AQ AC，则11_.解析 由题意可知，11的值与点 P、Q 的位置无关，而当直线 PQ 与直线 BC 重合时，则有 1，所以112.答案 2 方法三 图象分析法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅
8、速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【例 3】(1)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)|x22x12|.若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_.(2)已知函数 f(x)|lg x|（0 x10），12x6（x10），若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是_.解析(1)函数 yf(x)a 在区间3，4上有互不相同的 10 个零点，即函数 yf(x)，x3，4与 ya 的图象有 10 个不同
9、交点.在坐标系中作出函数 yf(x)在3，4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)12，观察图象可得0a12.(2)a，b，c 互不相等，不妨设 abc，f(a)f(b)f(c)，如图所示，由图象可知，0a1，1b10，10c12.f(a)f(b)，|lg a|lg b|.即 lg alg 1b，a1b.则 ab1.所以 abcc(10，12).答案(1)0，12 (2)(10，12)探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各
10、种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.【训练 3】设函数 f(x)x2bxc，x0，2，x0.若 f(4)f(0)，f(2)2，则函数 yg(x)f(x)x 的零点个数为_.解析 由 f(4)f(0)，得 164bcc.由 f(2)2，得 42bc2.联立两方程得 b4，c2.于是，f(x)x24x2，x0，2，x0.在同一直角坐标系中，作出函数 yf(x)与函数 yx 的图象，知它们有 3 个交点，即函数 g(x)有 3 个零点.答案 3 方法四 构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂
11、的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.【例4】如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_.解析 如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以|CD|(2)2(2)2(2)22R，所以 R 62，故球O 的体积 V4R33 6.答案 6探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中
12、的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【训练 4】已知 aln 12 01312 013，bln 12 01412 014，cln 12 01512 015，则 a，b，c 的大小关系为_.解析 令 f(x)ln xx，则 f(x)1x11xx.当 0 x1 时，f(x)0，即函数 f(x)在(0，1)上是增函数.112 01312 01412 0150，abc.答案 abc 方法五 综合分析法 对于开放性的填空题，应根据题设条件的
13、特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.【例5】已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，有f(x1)f(x)，且当x0，1)时，f(x)log2(x1)，给出下列命题：f(2 013)f(2 014)的值为0；函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；直线yx与函数f(x)的图象有1个交点；函数f(x)的值域为(1，1).其中正确的命题序号有_.解析 根据题意，可在同一坐标系中画出直线 yx 和函数 f(x)的图象如下：根据图象可知f(2 013)f(2 014)0 正确，函数 f(x)在定义域上不是周期函数，所以不正确，根据图象确实只有一个交点，所以正确，根据图象，函数
14、 f(x)的值域是(1，1)，正确.答案 探究提高 对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论.【训练 5】给出以下命题：双曲线y22x21 的渐近线方程为 y 2x；命题 p：“xR，sin x 1sin x2”是真命题；已知线性回归方程为y32x，当变量 x 增加 2 个单位，其预报值平均增加 4 个单位；已知 224 6642，554 3342，774 1142，10104 2242，依照以上各式的
15、规律，得到一般性的等式为 nn48n（8n）42(n4).则正确命题的序号为_(写出所有正确命题的序号).解析 由y22x20 可以解得双曲线的渐近线方程为y 2x，正确.命题不能保证 sin x，1sin x为正，故错误；根据线性回归方程的含义正确；根据验证可知得到一般性的等式是正确的.答案 1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的检验.
