1、课时分层作业(二十四)抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()AB1C DC由抛物线的定义，有|AF|BF|xAxBp3，故xAxB3p，故线段AB的中点到y轴的距离为2已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A2 B1C4 D8C抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，即焦点F到抛物线准线的距离等于43抛物线y24
2、x的焦点F，点P为抛物线上的点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时面积为()A2 B4C6 D4D据题意知，FPM为等边三角形，|PF|PM|FM|，PM抛物线的准线，设P，则M(1，m)，等边三角形边长为1，又由F(1,0)，|PM|FM|得1，得m2，等边三角形的边长为4，其面积为44直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是()A1 B2C3 D4B由题意知，直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，A到准线x的距离为xA，B到准线x的距离为xB，线段AB的中点到准线的距离为，线段AB的中点到y
3、轴的距离为1，即xAxB2，由抛物线定义，|AF|xA，|BF|xB，|AB|xAxBp4，即xAxB4p，4p2，即p25已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4Cp2 Dp2A若焦点弦ABx轴， 则x1x2，x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2，y1y2p2，故4二、填空题6已知点A(0，)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N若|FM|MN|12
4、，则抛物线的方程是 y24x依题意F点的坐标为，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|MK|，|FM|MN|12，|KN|KM|1，p2，p2抛物线方程为y24x7已知直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PK，QS，垂足分别为K，S，如果|PF|a，|QF|b，M为KS的中点，则|MF|的值为 如图，根据抛物线的定义，有|PF|PK|，|QF|QS|，易知KFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形PKSQ中，容易求得|KS|2故|FM|KS|8已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，
5、且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为 xy10依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10三、解答题9抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程解依题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x28又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和
6、抛物线的交点，由消去y，得x23px0，x1x23p将其代入，得p2所求的抛物线方程为y24x当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y24x综上所述，抛物线方程为y24x或y24x10已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N(1)求y1y2的值(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值解(1)依题意，设AB的方程为xmy2(m0)，代入y24x，得y24my80，从而y1y28(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1
7、，代入y24x消去x得：y24ny40，所以y1y34，同理y2y44，由(1)知y1y28，所以2为定值11(多选题)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)与抛物线的准线交于点D，若|AF|4，则以下结论正确的是()Ap2 BF为AD中点C|BD|2|BF| D|BF|2ABC如图，F，直线l的斜率为，则直线方程为y，联立，得12x220px3p20解得：xAp，xBp，由|AF|p2p4，得p2抛物线方程为y24xxBp，则|BF|1；|BD|，|BD|2|BF|，|BD|BF|4，则F为AD中点运算结论正
8、确的是ABC12已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k 2由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k213(一题两空)如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，
9、准线为l，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|3p，设点A，B在l上的射影分别为A，B，则直线AB的斜率为 ；若向四边形AABB内任投一点M，点M落在FAB内的概率是 设|AF|m，|BF|n，可得mn3p，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2p3p，即x1x22p，显然AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk，联立抛物线方程得k2x2(2pk2p)xp20，可得x1x2p2p，解得k，由抛物线的定义可得|AA|AF|m，|BB|BF|n，可得四边形AABB的面积为|AB|(mn)p|AB|，FAB的面积为p|AB|，则点M落在FAB内的概率是14已知点A(2,0)，抛物线
10、C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN| 1抛物线C：x24y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0)，抛物线的准线方程为l：y1，直线AF的斜率为k过M作MPl于P，根据抛物线的定义得|FM|PM|RtMPN中，tanMNPk，可得|PN|2|PM|，得|MN|PM|，可得|FM|MN|PM|MN|115已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60又F，所以直线l的方程为y联立消去y得x25x0若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3
