1、第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.4二面角课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知二面角-l-的两个半平面与的法向量分别为a,b,且=6,则二面角-l-的大小为()A.6B.56C.6或56D.6或3答案C2.如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若PAB是边长为2的正三角形,且COAB,则二面角P-AC-B的正弦值是()A.6B.427C.77D.7答案B解析如图,取AC的中点D,连接OD,PD,PO底面,POAC,OA=OC,D为AC的中点,ODAC,又POOD=O,AC平面POD,则ACPD,PDO为二面角P-AC-B的平面角.PAB是
2、边长为2的正三角形,PO=3,OA=OC=1,OD=22,则PD=(3)2+(22)2=142.sinPDO=POPD=3142=427.故选B.3.正方形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为()A.30B.45C.60D.90答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,12,12,AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD的法向量,cos=22,平面PAB与平面PCD所成的角为45.4.请根据
3、所给的图形,把空白之处填写完整.(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).如图,已知:a,求证:.(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.如图,已知:,ABCD=B,=CD,求证:AB.证明:在内引直线,垂足为B,则是二面角的平面角,由,知,又ABCD,BE和CD是内的两条直线,所以AB.解(1)已知:a,a,=b,求证:ab.故答案为a,=b;ab.(2)如图,已知:,ABCD=B,=CD,AB,ABCD,求证:AB.证明:在内引直线BECD,垂足为B,则ABE是二面角-CD-的平面角,由,知ABBE,又ABCD,BE和CD是内的两条相交直线,所以AB.故答案为AB,ABCD,BEC
4、D,ABE,-CD-,ABBE,相交.5.已知点O在二面角-AB-的棱上,点P在平面内,且POB=60.若直线PO与平面所成的角为45,则二面角-AB-的正弦值为.答案63解析如图,过点P作PE,垂足为E,过点E作EFAB,垂足为F,连接OE,PF,则POE为直线PO与平面所成的角,PFE为二面角-AB-的平面角.设OP=2a,则在RtPEO中,由POE=45,可得PE=a;在RtPFO中,由POF=60,可得PF=2asin60=62a;在RtPEF中,sinPFE=PEPF=a62a=63,即二面角-AB-的正弦值为63.6.在空间中,已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(
5、0,0,a)(a0),如果平面与平面xOy所成的角为45,则a=.答案125解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),设平面的法向量为u=(x,y,z),则-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,则u=a3,a4,1.而cos=1a29+a216+1=22,又a0,a=125.7.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值.解如图所示,设AC与BD交于O,连接OF,以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC
6、=1,则BD=3,所以O(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC为平面BDF的一个法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3),所以cos=217,sin=277,所以tan=233.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)证明:PABD;(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明因为DAB=60,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.从而BD2+AD2=AB2,故BDAD.又PD底面ABCD
7、,可得BDPD,所以BD平面PAD.故PABD.(2)解如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1).AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),BC=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nPB=0,即-x+3y=0,3y-z=0,因此可取n=(3,1,3).设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则mPB=0,mBC=0,即3b-c=0,-a=0,可取m=(0,-1,-3),cos=-427=-277.由图形知二面角A-PB-C大
8、小为钝角,故二面角A-PB-C的余弦值为-277.9.正方体ABCD-ABCD的棱长等于2,E,F分别是BD,AC的中点.求:(1)直线AB和平面ACD所成角的正弦值;(2)二面角B-CD-A的余弦值.解如图建立空间直角坐标系Dxyz,正方体的棱长等于2,E,F分别是BD,AC的中点,A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2),B(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0).(1)AD=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),AB=(0,2,2),设n=(x,y,z)是平面ACD的一个法向量,则由nAD=0,nAC=0,(x,y,z)(-2,0,2)=0,(
9、x,y,z)(-2,2,0)=0,z=x,y=x,取x=1,得平面ACD的一个法向量n=(1,1,1),设直线AB和平面ACD所成角的大小为,则sin=|nAB|n|AB|=|(1,1,1)(0,2,2)|38=63,直线AB和平面ACD所成角的正弦值是63.(2)DB=(2,2,0),DC=(0,2,-2),设m=(x0,y0,z0)是平面BCD的一个法向量,则由mDB=0,mDC=0得x0=-y0,z0=y0,取y0=1得平面BCD的一个法向量m=(-1,1,1),由cos=nm|n|m|=(1,1,1)(-1,1,1)33=13,由图形知二面角B-CD-A的大小为锐角.故二面角B-CD-
10、A的余弦值是13.关键能力提升练10.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.120答案C解析由条件知,CAAB=0,ABBD=0,CD=CA+AB+BD.|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2ABBD+2CABD=62+42+82+268cos=(217)2,cos=-12,即=120,二面角的大小为60,故选C.11.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成
11、的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则()A.,B.,C.,D.,答案B解析如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PEVG,过点P作PFAC交VG于点F,过点D作DHAC,交BG于点H,则=BPF,=PBD,=PED,所以cos=PFPB=EGPB=DHPB,因为tan=PDEDPDBD=tan,所以.故选B.12.如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C,E点在线段AC上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C的大小分别为30和45,则AEEC=()A.12B.66
12、C.22D.63答案C解析取BD的中点O,连接AO,EO,CO,菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C,E点在线段AC上,COBD,AOBD,OC=OA,BD平面AOC,EOBD.二面角A-BD-E与二面角E-BD-C的大小分别为30和45,AOE=30,EOC=45,OC=OA,OCE=OAE,由正弦定理得OEsinOCE=ECsinEOC,OEsinOAE=AEsinAOE,ECsinEOC=AEsinAOE,AEEC=sin30sin45=1222=22.故选C.13.如图所示,将边长为a的正三角形ABC,沿BC边上的高线AD将ABC折起.若折起后B,C间距离为a2,则二面角B-AD
13、-C的大小为.答案6014.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,E为线段BC上一动点,现将ABE沿AE折起得到ABE,当二面角B-AE-D的平面角为120,点B在平面ABC上的投影为K,当E从B运动到C,则点K所形成轨迹是.答案一段圆弧解析过K作KOAE,连接OB,二面角B-AE-D的平面角为120,BOK=60,KO=12BO,从而原问题就转化为BOAE,K为BO中点,求K的轨迹长度,如右图,BOAE,O在以AB为直径的圆上,取AB中点J,则JKBK,所以K点的轨迹是以BJ为直径的圆上的一段弧.15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,ABAD,
14、ABCD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.若二面角P-AC-E的余弦值为33,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.解如图,作CFDA,交AB于点F,以C为原点,CF,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a0),则E12,-12,a2,CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=12,-12,a2,取m=(1,-1,0),则mCA=mCP=0,所以m为平面PAC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EAC的一个法向量,则nCA=0,nCE=0,即x+y=0,x-y+az=0,
15、取x=a,可得n=(a,-a,-2),依题意,|cos|=|mn|m|n|=2a22a2+4=33,则a=1(负值舍去).于是n=(1,-1,-2),PA=(1,1,-1).设直线PA与平面EAC所成的角为,则sin=|cos|=23,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.16.如图1,等腰梯形ABCD中,ABCD,AB=2AD=4,P为AB的中点,对角线AC平分DAB,将ACD沿AC折起到如图2中ACD的位置.(1)求证:PDAC.(2)若二面角B-AC-D为直二面角,M为线段AB上的点,且二面角A-DC-M与二面角M-DC-B大小相等,求出AMAB的值.(1)证明连接DP,CP,设D
16、P与AC交于点O,如图3所示.四边形ABCD是等腰梯形,ABDC,AD=BC,DCA=CAB.又AC平分DAB,DAC=CAB=DCA,CD=AD,结合P为AB的中点,AB=2AD,易证得四边形APCD为菱形,ACDP.图3图4如图4,ACOP,ACOD,且OPOD=O,AC平面DPO,又PD平面DPO,PDAC.(2)解二面角B-AC-D为直二面角,ACOP,OP平面ACD,易知OPBC,BC平面ACD,二面角A-DC-B为直二面角.又二面角A-DC-M与二面角M-DC-B大小相等,二面角A-DC-M的平面角为45,图5以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,OD所在直线为z
17、轴,建立如图5所示的空间直角坐标系Oxyz.如图3,在菱形APCD中,易知PAD=3,OD=OP=1,OA=OC=3.A(3,0,0),B(-3,2,0),C(-3,0,0),D(0,0,1),CD=(3,0,1),AB=(-23,2,0),设AM=AB(01),M(3-23,2,0),CM=(23(1-),2,0),易知平面ACD的一个法向量为m=(0,1,0),设n=(x,y,z)为平面MCD的法向量,则nCM=0,nCD=0,即23(1-)x+2y=0,3x+z=0,取x=1,则z=-3,y=-3(1-),得n=1,-3(1-),-3,|cos|=|mn|m|n|=3(1-)1+-3(1
18、-)2+3=22,解得=23-3,满足题意,故AMAB=23-3.17.如图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AEBE,M为CE上一点,且BM面ACE.(1)求证:AEBC;(2)若点N为线段AB的中点,求证:MN面ADE;(3)若BE=4,CE=42,且二面角A-BC-E的大小为45,求三棱锥C-ABE的体积.(1)证明BM平面ACE,AE平面ACE,BMAE.AEBE,BMBE=B,AE平面BCE.BC平面BCE,AEBC.(2)证明取DE中点P,连接PM,AP,BC=BE,BMAE,M为CE的中点,MP12DCAN,且MP=AN,APMN为平行四边形,MN
19、AP.MN平面ADE,AP平面ADE,MN平面ADE.(3)解由BE=BC=4,CE=42,得BCBE.BCAE,AEBE=E,BC平面ABE.ABE为二面角A-BC-E的平面角.ABE=45.AE=BE=4.三棱锥C-ABE的体积1312424=323.18.(2021全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PBAM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.解(1)连接BD.PD底面ABCD,AM底面ABCD,PDAM.PBAM,PBPD=P,AM平面PBD,AMBD,ADB+DAM=90.又DAM+MAB=90,A
20、DB=MAB,RtDABRtABM,ADAB=BABM,12BC2=1,BC=2.(2)如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),AP=(-2,0,1),AM=-22,1,0,BM=-22,0,0,BP=(-2,-1,1).设平面AMP的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则mAP=0,mAM=0,即-2x1+z1=0,-22x1+y1=0,令x1=2,则y1=1,z1=2,可得m=(2,1,2).设平面BMP的一个法向量为n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1).则c
21、os=mn|m|n|=372=31414.设二面角A-PM-B的平面角为,则sin=1-cos2=1-914=7014.19.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1,侧棱AA1=2,E为BC中点,F为CD中点,G为BB1上一个动点.(1)确定G点的位置,使得D1E平面AFG;(2)当D1E平面AFG时,求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.解(1)如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2).因为E为BC中点,F为CD中点,所以
22、E12,1,0,F0,12,0.由题意得D1EAF,D1EAG,设G(1,1,t).又D1E=12,1,-2,AF=-1,12,0,AG=(0,1,t).因为D1E平面AFG,则D1EAF=0,D1EAG=0,得1-2t=0,t=12.BG=12,即G为BB1的四等分点.(2)由题意知,平面AFE的一个法向量为m=(0,0,1),设平面AFG的法向量n=(x,y,z).则AFn=0,AGn=0,得-x+12y=0,y+12z=0,取x=-1,得n=(-1,-2,4).cos=mn|m|n|=42121.由图形知二面角G-AF-E的大小为锐角.二面角G-AF-E的平面角的余弦值为42121.学科
23、素养拔高练20.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足DQ=12CP,记直线PQ与平面ABC所成的角为,异面直线PQ与EF所成的角为,二面角E-l-C的大小为,求证:sin =sin sin .(1)解直线l平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EFAC.又EF平面ABC,且AC平面ABC,所以EF平面ABC.而EF平面BEF,且平面BEF平面ABC=l
24、,所以EFl.因为l平面PAC,EF平面PAC,所以直线l平面PAC.(2)证明如图,由DQ=12CP,作DQCP,且DQ=12CP.连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.以点C为原点,向量CA,CB,CP所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E12a,0,c,F(0,0,c).于是FE=12a,0,0,QP=(-a,-b,c),BF=(0,-b,c),所以cos=|FEQP|FE|QP|=aa2+b2+c2,从而si
25、n=1-cos2=b2+c2a2+b2+c2.又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),可得sin=|mQP|m|QP|=ca2+b2+c2,设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),所以由nFE=0,nBF=0,可得12ax=0,-by+cz=0.取n=(0,c,b).于是|cos|=|mn|m|n|=bb2+c2,从而sin=1-cos2=cb2+c2.故sinsin=b2+c2a2+b2+c2cb2+c2=ca2+b2+c2=sin,即sin=sinsin.21.图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿
26、AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.(1)证明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解作EHBC,垂足为H.因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,EBC=60,可求得BH=1,EH=3.以H为坐标原点,HC的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),CG=(1,0,3),AC=(2,-1,0).设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则CGn=0,ACn=0,即x+3z=0,2x-y=0.所以可取n=(3,6,-3).又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以cos=nm|n|m|=32.由图形知二面角B-CG-A大小为锐角.因此二面角B-CG-A的大小为30.15
