1、二十椭圆及其标准方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a0),给出下列说法中正确的说法是()A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆【解析】选AC.当a=2时,2a=4|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,点P的轨迹为线段AB,D错误.2.已知
2、椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是()A.+x2=1B.+y2=1或x2+=1C.+y2=1D.以上都不对【解析】选A.设椭圆方程为Ax2+By2=1(A0,B0),由题意得解得所以此椭圆的标准方程为+x2=1.3.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.C.0abD.0b0,所以ba0.4.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=()A.-1B.1C.D.-【解析】选B.由5x2+ky2=5得,x2+=1.因为焦点为(0,2),所以a2=,b2=1,所以c2=a2-b2=-1=4,所以k=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.椭
3、圆x2+ky2=1的焦距为,则k=.【解析】椭圆x2+ky2=1转换为标准形式+=1,当焦点在x轴上时,c2=1-,即2c=2=,解得k=2,当焦点在y轴上时,c2=-1,即2c=2,解得k=.答案:2或6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)7.设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解析】设点M的坐标是(x,y
4、),P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.8.已知点P(6,8)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若=0.试求(1)椭圆的方程.(2)sin PF1F2的值.【解析】(1)因为=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|=+=12,所以a=6,b2=80.所以椭圆方程为+=1.(2)如图所示,过点P作PMx轴,垂足为
5、M,则|PM|=8,|F1M|=10+6=16,所以|PF1|=8,所以sinPF1F2=.(15分钟30分)1.(5分)椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为()A.8B.2C.4 D.【解析】选C.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8,由于N为MF1的中点,所以ON为F1MF2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.2.(5分)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.
6、+=1D.+=1【解析】选C.设椭圆的方程为+=1(ab0),令x=c,则y=,由|AB|=3,得=3,又a2-b2=c2=1,联立得a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为+=1.3.(5分)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.【解析】椭圆方程化为+=1,设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|PA|-|PF1|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),所以|PA|+|PF|6+,|PA|+|PF|6-.答案:6+6-4.(5分)
7、在平面直角坐标系xOy中,已知ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=.【解析】由题意知,A,C为椭圆的两焦点,则|AC|=8,|AB|+|BC|=10.所以=.答案:5.(10分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1F1F2,|EF1|=,|EF2|=,求椭圆C的方程.【解析】因为点E在椭圆C上,所以2a=|EF1|+|EF2|=+=6,即a=3.在RtEF1F2中,|F1F2|=2,所以椭圆C的半焦距c=.所以b2=a2-c2=9-5=4,所以椭圆C的方程为+=1.1.已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:
8、x=2,点Al,线段AF交C于点B,若=3,则=()A.B.2C.D.3【解析】选C.设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,即(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=1,所以A点坐标为(2,1),所以=.【加练固】 已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上的任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方程为.【解析】连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4|EF|,所以Q的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且a=2,c=1,所以b
9、=,所以点Q的轨迹方程为+=1.答案:+=12.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=,求的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|PF2|=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=得x0=,y0=-.又+=1,所以+=1,化简得2+6-7=0,解得=-7或=1,因为点C异于B点,所以=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|4+|BF2|,所以PBF1的周长4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,PBF1的周长最大,最大值为8.
