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2013届高三理科数学二轮专题课件4-31行列式与矩阵(选修4-2).ppt

上传人:高**** 文档编号:521316 上传时间:2024-05-28 格式:PPT 页数:58 大小:1.33MB
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资源描述

1、第四部分 选考内容第三十一讲 行列式与矩阵(选修42)1.矩阵相等概念的应用2求常见的平面变换公式及其矩阵3求曲线在二阶矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程及其图形4二阶矩阵乘法的运算及其在变换中的应用5逆矩阵的求法及其在解二元一次方程组中的应用考纲要求6计算二阶矩阵的特征值、特征向量7利用矩阵的特征值、特征向量表示An.考纲要求要点串讲1.矩阵的相关概念(1)由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表abcd)称为二阶矩阵,数 a,b,c,d 称为矩阵的元素在二阶矩阵中,横的叫行,从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行;竖的叫列,从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列矩阵通常用大写的英文字母

2、A,B,C,表示(2)二阶矩阵0000 称为零矩阵,简记为 0,矩阵1001称为二阶单位矩阵,记作 E2.(3)对于两个二阶矩阵 A,B,如果它们的对应元素分别相等,则称矩阵 A 与矩阵 B 相等,记作 AB,设 Aa1b1c1d1,Ba2b2c2d2,若 AB,则 a1a2,b1b2,c1c2,d1d2.2线性变换的相关概念(1)我们把形如xaxbyycxdy(*)的几何变换叫做线性变换,(*)式叫做这个线性变换的坐标变换公式,P(x,y)是 P(x,y)在这个线性变换作用下的像(2)常见的线性变换有旋转变换,反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换(3)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换、

3、,如果对平面内任意一点 P,都有(P)(P),则称这两个线性变换相等,简记为,设,所对应的二阶矩阵分别为 A,B,则 AB.3二阶矩阵与平面向量的乘法设 Aabcd,xy,则 Aabcd xy axbycxdy.4线性变换的基本性质设 A 是一个二阶矩阵,是平面上的任意两个向量,是一个任意实数,(1)性质 1 A()A.A()AA.(2)定理 1 A(12)1A2A.(3)性质 2 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)5二阶矩阵的乘法一般的,设 Aa1b1c1d1,Ba2 b2c2d2,则 ABa1b1c1d1a2b2c2d2 a1a2b1c2a1b2b1d2c1a2

4、d1c2c1b2d1d2对直角坐标系 xOy 内任意向量,有 A(B)(AB).6矩阵乘法的性质(1)结合律设 A,B,C 是任意的三个二阶矩阵,则 A(BC)(AB)C.(2)二阶矩阵 A 的方幂的性质A0E2,AkAlAkl,(Ak)lAkl(k,lN)7逆变换与逆矩阵(1)一般地,设 是一个线性变换,如果存在线性变换,使得 I,则称变换 可逆,并且称 是 的逆变换(2)一般地,设 A 是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵 B,使得 BAABE2,则称矩阵 A 可逆,并且称 B是 A 的逆矩阵8逆矩阵的性质(1)性质 1 设 A 是一个二阶矩阵,如果 A 是可逆的,则 A 的逆矩阵是唯一的(2

5、)性质 2 设 A,B 是二阶矩阵,如果 A,B 都可逆,则 AB 也可逆,且(AB)1B1A1.9逆矩阵的判定及求法定理:二阶矩阵 Aabcd 是可逆的,当且仅当 adbc0,当矩阵 Aabcd 可逆时,A1ddetAbdetAcdetAadetA.10逆矩阵与二元一次方程组(1)定理 如果关于变量 x,y 的二元一次方程组(线性方程组)axbyecxdyf的系数矩阵 Aabcd 可逆,那么该方程组有唯一解xy abcd1ef.(2)推论 关于变量 x,y 的二元一次方程组axby0cxdy0,其中 a,b,c,d 是不全为零的常数,有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式abcd 0.11

6、矩阵特征值、特征向量的相关概念(1)定义 设矩阵 Aabcd,如果存在实数 以及非零向量,使得 A,则称 是矩阵 A 的一个特征值,是矩阵 A 的属于特征值 的一个特殊向量(2)一般地,设 是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量,则对任意的非零常数 k,k 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量(3)一般地,属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线(4)设矩阵 Aabcd,称 f()abcd 为矩阵 A的特征多项式,方程abcd 0 为矩阵 A 的特征方程12特征向量的应用(1)设 A 是一个二阶矩阵,是矩阵 A 的属于特殊值 的任意一个特征向量,则 Ann(nN*)(2)性质 1 设 1,2是

7、二阶矩阵 A的两个不同特殊值,1,2是矩阵 A 的分别属于特征值 1,2的特征向量,对于任意的非零平面向量,设 t11t22(其中 t1,t2为实数),则对任意的正整数 n,有 Ant1n11t2n22.高频考点类型一 二阶矩阵与平面向量乘法、线性变换性质的应用【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 4x2y21 在矩阵2001 对应的变换作用下得到曲线 F,求F 的方程分析 由已知矩阵可得坐标变换公式,从而得到椭圆上点与曲线 F 上点坐标间的关系,再代入椭圆方程即可得 F 的方程解 设 P(x0,y0)是椭圆上任意一点,点 P 在矩阵 A2001 的作用下的像为 P(x0,y0)A2

8、001,坐标变换公式x02x0y0y0,x0 x02y0y0,点 P 在椭圆上,故 4x20y201,(x0)2(y0)21,曲线 F 的方程为 x2y21.【探究 1】二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,1)与(2,1)分别变成点(1,1)与(0,2)(1)求矩阵 M;(2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:xy4.求直线 l 的方程分析:由已知条件可利用待定系数法求矩阵 M,再通过矩阵 M 对应的坐标变换公式确定直线 l 与直线 m 上点坐标间的关系,即可求直线 l 的方程解:(1)设 Mabcd,则有abcd 11 11,abcd 2102.也就是abcd 11,2ab2cd

9、02,所以ab1cd1,且2ab02cd2.解得a1b2c3d4,所以 M1234.(2)M1234,坐标变换公式为xx2yy3x4y,(x,y)是直线 m:xy4 上的点(x2y)(3x4y)4,即 xy20,直线 l 的方程为 xy20.类型二 与逆矩阵(变换)相关的问题、用矩阵知识解二元一次方程组【例 2】已知矩阵 A1237.(1)求逆矩阵 A1;(2)若二阶矩阵 X 满足 AX3015,试求矩阵 X.分析 利用|A|可以求出 A1,再利用 AA1E2,可求出二阶矩阵 X.解(1)|A|1237 10.矩阵 A 是可逆的,且A1712131117231.(2)AX3015,A1AXA1

10、3015,X723 13015 191085.【探究 2】用矩阵知识解二元一次方程组2x3y103x2y10.分析:用二阶行列式可以表示二元一次方程组的一般解,计算出相应量后代入即可用逆矩阵从几何变换的角度也可求解二元一次方程组解:二元一次方程组可化为2x3y13x2y1,其系数矩阵为 A2332,该方程组的矩阵形式为Axy 11,|A|2332 223350,矩阵 A 可逆,方程组有唯一解xy A111,A12|A|3|A|3|A|2|A|25353525,代入上式得xy A1112535352511 11,原方程组的解为x1y1类型三 变换的不变量与矩阵的特征向量【例 3】设 A3452,

11、求 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量分析 求特征向量先求出特征多项式及特征方程的根(特征值),再将特征值代入方程(组),求出一组非零解,即得对于相应特征值的特征向量解 矩阵 A 的特征多项式为f()3452 2514(2)(7)令 f()0,得矩阵 A 的特征值为 12,27,对于特征值 12,解相应的线性方程组5x4y05x4y0 得一个非零解x4y5,因此 145 是矩阵 A的属于特征值 12 的一个特征向量,对 于 特 征 值2 7,解 相 应 的 线 性 方 程 组4x4y05x5y0 得一个非零解x1y1,因此 211 是矩阵A 的属于特征值 27 的一个特征向量【探究

12、3】已知矩阵 M3652,38,试计算 M100.分析:利用特征值和特征向量,可以方便地计算多次变换的结果,应用公式 Mnm(n11)n(n12)时要熟悉各个系数的意义,并分别求出代入解:设矩阵 M 的特征多项式为f()3652(3)(2)302524.令 f()0,得 M 的特征值为 18,23,它们对应的一个特征向量分别为165,211.令 m1n2m65 n11 38,m1,n3,即 132,M100M100(132)M10013M10021001 131002 2810065 3(3)1001181006331008100533100.好方法好成绩1.求一个二阶矩阵的逆矩阵的两种方法求

13、一个二阶矩阵的逆矩阵既可以根据逆矩阵的定义,采用待定系数法,也可以直接用求二阶矩阵的逆矩阵公式,一般地,二阶矩阵abcd 的逆矩阵是dadbcbadbccadbcaadbc.2变换和逆变换当一个二阶矩阵 M 存在逆矩阵 M1时,这个矩阵对应的线性变换也是可逆的,这样的两个变换相乘的结果是恒等变换,反映在矩阵的乘法上就是 MM1M1MI,其中 I 为单位矩阵.高考陪练1.若曲线 x24xy2y21 在矩阵 M1ab1 的作用下变换成曲线 x22y21.(1)求 ab 的值;(2)矩阵 M 所对应的变换是什么变换?解:(1)xy 1ab1 xy xaybxy.将xxayybxy,代入 x22y21

14、 得(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21.比较它与 x24xy2y21 的各项系数得 12b212a4b4a222,解得a2b0,所以 ab2.(2)这是一个切变变换2已知点 P(3,1)在轴反射变换 T 下的新坐标为Q(1,3)(1)求反射变换所对应的变换矩阵 M;(2)求曲线 y2x 在 T 作用下所得的图形;(3)求证:MM1.解:(1)由于 P、Q 关于直线 yx 对称,故反射轴为直线 yx,于是矩阵 M0110.(2)y2x 在 T 的作用下,变为了 x2y,它是一个开口向上的抛物线(3)证明:因为 M20110 0110 1001,所以 MM1.3已知矩阵 A11a1,

15、其中 aR,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点 P(0,3)(1)求实数 a 的值;(2)求矩阵 A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量解:(1)由11a111 03,得 a13,a4.(2)由(1)知 A1141,则矩阵 A 的特征多项式为f()1141(1)24223(3)(1)令 f()0,解得矩阵 A 的特征值 11,23.当 1 1 时,解 相 应 的 二 元 一 次 方 程 组2xy04x2y0,得一个非零实数解x1y2,属于 11 的一个特征向量为12.同理可得属于 23 的一个特征向量为12.4已知矩阵 M1ab1,Nc20d,且 MN2020.(1)求实数 a,

16、b,c,d 的值;(2)求直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程分析:本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力解:解法一:(1)由题设得c02,2ad0,bc02,2bd0.解得a1,b1,c2,d2.(2)因为矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线 y3x 上的两点(0,0),(1,3)由1111 00 00,1111 13 22得:点(0,0)(1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0),(2,2)从而,直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 yx.解法二:(1)同解法一(2)设直线 y3x 上的

17、任意点(x,y)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是点(x,y),由xy 1 11 1xy xyxy 2x2x得 yx,即点(x,y)必在直线 yx 上由(x,y)的任意性可知,直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 yx.5在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)设 k 为非零实数,矩阵 Mk001,N0110,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到的点分别为 A1、B1、C1,A1B1C1的面积是ABC 的面积的2 倍,求 k 的值分析:本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力解:由题设得 MNk001 0110 0k10.由0k10 00 00,0k10 2002,0k10 21k2,可知 A1(0,0),B1(0,2),C1(k,2)计算得ABC 的面积是 1,A1B1C1的面积是|k|,则由题设知|k|212,所以 k 的值为2 或 2.高考专题训练三十一

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