1、第2讲 不等式问题 高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟 1.(2016全国卷)若ab0，0c1，则()A.logaclogbcB.logcalogcb C.accb 解析 取 a4，b2，c12，逐一验证可得 B 正确.答案 B 2.(2015湖南卷)若实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab 的最小值为()A.2B.2C.2 2D.4解析 由1a2b ab，知 a0，b0，由于1a2b
2、22ab，当且仅当 b2a 时取等号.ab2 2ab，ab2 2.故选 C.答案 C 3.(2015陕西卷)设 f(x)ln x，0ab，若 pf(ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrpB.qrpC.prqD.prq解析 0ab，ab2 ab，又f(x)ln x 在(0，)上为增函数，故 fab2f(ab)，即 qp.又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)ln(ab)12f(ab)p.故 prq.选 C.答案 C 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x3与直线xy10的交点(3，4)处取得，代入目标函数zx2y得到最小值
3、为5.4.(2016全国卷)若 x，y 满足约束条件xy10，xy30，x30，则 zx2y 的最小值为_.答案 5 考 点 整 合 1.简单分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0)；(2)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.2.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.(2)四个常用结论ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.ax2bxc0(a0)恒成立的
4、条件是a0，0.af(x)恒成立af(x)max.af(x)恒成立af(x)min.3.利用基本不等式求最值已知 x，yR，则(1)若 xyS(和为定值)，则当 xy时，积 xy 取得最大值S24 xyxy22S24；(2)若 xyP(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 P(xy2 xy2 P).4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值.5.不等式的证明 不等式的证明
5、要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一 利用基本不等式求最值 微题型1 基本不等式的简单应用【例 11】(1)已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且 ab，若 x，y 均为正数，则3x2y的最小值是()A.53B.83C.8 D.24(2)已知正项等比数列an满足 a7a62a5，若存在两项am，an 使得 aman4a1，则1m4n的最小值为_.解析(1)ab，3(y1)2x0，即 2x3y3.x0，y0，3x2y3x2y 13(2x3y)13669yx 4xy 13(1226)8.当
6、且仅当 3y2x 时取等号.(2)设正项等比数列an的公比为 q，则 q0，a7a62a5，a5q2a5q2a5，q2q20，解得 q2 或 q1(舍去).aman a12m1a12n14a1，平方得 2mn21624，mn6，1m4n161m4n(mn)165nm4mn 16(54)32，当且仅当nm4mn，即 n2m，亦即 m2，n4 时取等号.答案(1)C(2)32探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.微题型2 带
7、有约束条件的基本不等式问题【例 12】(1)已知两个正数 x，y 满足 x4y5xy，则xy 取最小值时，x，y 的值分别为()A.5,5 B.10,52C.10,5 D.10,10(2)(2016郑州模拟)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_.解析(1)x0，y0，x4y5xy2 4xy5，即 xy4 xy50，可求 xy25.当且仅当 x4y 时取等号，即 x10，y52.(2)4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)2322xy1，(2xy)2322xy221，解之得(2xy)285，即 2xy2 105.等号当且仅当 2xy0，即 x 1010，y 10
8、5 时成立.答案(1)B(2)2 105探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解.【训练1】(1)(2016广州模拟)若正实数x，y满足xy1xy，则x2y的最小值是()A.3B.5C.7D.8(2)(2015山东卷)定义运算“”：xyx2y2xy(x，yR，xy0)，当 x0，y0 时，xy(2y)x 的最小值为_.解析(1)由 xy1xy，得 yx1x1，又 y0，x0，x1.x2yx2x1x1x21 2x1x2 4x13(x1)4x1347，当且仅当 x3 时取“”.(2)由题意，得 xy(2y)xx2y
9、2xy（2y）2x22yxx22y22xy2 x22y22xy 2，当且仅当 x 2y 时取等号.答案(1)C(2)2热点二 含参不等式恒成立问题 微题型1 分离参数法解决恒成立问题【例 21】(1)关于 x 的不等式 x4x1a22a0 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围为_.(2)已知 x0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)设 f(x)x4x，因为 x0，所以 f(x)x4x2x4x4，当且仅当 x2 时取等号.又关于 x 的不等式 x4x1a22a0对 x(0，)恒成立，所以 a22a14，解得1a3，所以实数
10、a 的取值范围为(1，3).(2)要使(xy)2a(xy)10 恒成立，则有(xy)21a(xy)，由于 x0，y0，即 a(xy)1xy恒成立.由 xy3xy，得 xy3xyxy22，即(xy)24(xy)120，解得 xy6 或 xy2(舍去).设 txy，则 t6，(xy)1xyt1t.设 f(t)t1t，则在 t6时，f(t)单调递增，所以 f(t)t1t的最小值为 616376，所以a376，即实数 a 的取值范围是，376.答案(1)(1，3)(2)，376探究提 高 一是转 化法,即通 过分离参 数法,先转 化为f(a)g(x)(或 f(a)g(x)对 x D 恒 成 立,再 转
11、 化 为f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)；二是求最值法，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题.微题型2 函数法解决恒成立问题【例22】(1)已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，则a的取值范围为_.(2)已知二次函数f(x)ax2x1对x0，2恒有f(x)0.则实数a的取值范围为_.解析(1)法一 f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa，当a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2
12、a2，由2a2a，解得2a1.1a1.综上所述，所求a的取值范围为3，1.法二 设 g(x)f(x)a，则 g(x)x22ax2a0 在1，)上恒成立，即 4a24(2a)0 或0，a1，g（1）0，解得3a1.(2)法一 函数法.若 a0，则对称轴 x 12a0，故 f(x)在0，2上为增函数，且 f(0)1，因此在 x0，2上恒有 f(x)0 成立.若 a0，则应有 f(2)0，即 4a30，a34.34a0.综上所述，a 的取值范围是34，0(0，).法二 分离参数法.当 x0 时，f(x)10 成立.当 x0 时，ax2x10 变为 a1x21x，令 g(x)1x21x1x12.探究提
13、高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.当1x12时，g(x)，34.a1x21x，a34.又a0，a 的取值范围是34，0(0，).答案(1)3，1(2)34，0(0，)【训练2】若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_.解析 因为 a2，2，可把原式看作关于 a 的一次函数，即 g(a)xax210，由题意可知g（2）x22x10，g（2）x22x10，解之得 xR.答案 R 热点三 简单的线性规划问题 微题型1 已知线性约束条件，求目标函数最值【例 3 1】(201
14、6 全 国 卷)设 x，y 满 足 约 束 条 件2xy10，x2y10，x1，则 z2x3y5 的最小值为_.解析 可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(1,0),B(1,1),C(1,3)，直线z2x3y5过点B时取最小值10.答案 10 探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.微题型2 线性规划中的含参问题【例 32】(1)(2016成都诊断)变量 x，y 满足约束条件xy0，
15、x2y20，mxy0.若 z2xy 的最大值为 2，则实数 m 等于()A.2 B.1 C.1 D.2(2)(2015山东卷)已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0，若 zaxy 的最大值为 4，则 a()A.3 B.2C.2D.3解析(1)由图形知A23，23，B22m1，2m2m1，O(0，0).只有在 B 点处取最大值 2，242m1 2m2m1.m1.(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知 A(2，0)，由xy0，xy2，得 B(1，1).由 zaxy，得 yaxz.当 a2 或3 时，zaxy 在 O(0，0)处取得最大值，最大值为 zmax0，不满足题意，排除
16、C，D；当 a2 或 3 时，zaxy 在 A(2，0)处取得最大值，2a4，a2，排除 A，故选 B.答案(1)C(2)B 探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练 3】(1)(2016江苏卷)已知实数 x，y 满足x2y402xy20，3xy30则 x2y2 的取值范围是_.(2)已知 x，y 满足yx，y
17、x2，xa，且目标函数 z2xy 的最小值为 1，则实数 a 的值是()A.34B.12C.13D.14解析(1)已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x，y)为阴影部分内的动点，x2y2 表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组3xy30，x2y40，得 A(2，3).由图可知(x2y2)min|2|2212245，(x2y2)max|OA|2223213.(2)依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数 z2xy 过点 B(a，a)时，zmin2aa3a；因为目标函数 z2xy 的最小值为 1，所以 3a1，解得 a13，故选 C.答案(
18、1)45，13 (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.
