1、九全概率公式 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为()A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2【解析】选A.以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,P=,P=,P=,P=,P=,P=;则由全概率公式,所求概率为P=PP+PP+PP=+=0
2、.08.2.如果在上题中已知取得的X光片是次品,则该次品是由甲厂生产的概率为()A.0.085B.0.226C.0.625D.0.815【解析】选C.以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,P=,P=,P=,P=,P=,P=,所以P=0.08,P = =0.625.3.设有5个袋子中放有白球,黑球,其中1号袋中白球占,另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占,今从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个球,结果是白球,则这个球是来自1号袋子中的概率为()A. B. C. D.【解析】选A.设Ai:取到第i号袋子,i=1,2,3,4,5.B
3、:取到白球,由贝叶斯公式得P(A1)=.4.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S 在病人中占60%.则()A.任意一位病人有症状S 的概率为0.02B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25【解析】选ABC.P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|D
4、i)=0.020.4+0.050.18+0.0050.6=0.02.由贝叶斯公式得:P(D1|S)=0.4,P(D2|S)=0.45,P(D3|S)=0.15.二、填空题(每小题5分,共10分)5.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为_,第三个人摸到中奖彩票的概率为_.【解析】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai ,显然P(A1)=,而P(A2)=PA2(A1)=P(A2A1)+P(A2)=P(A2A1)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=0+=,P(A3)=PA3(A1A2+A1+A2+ ) =P(A1A2A3)+P(A1A3)
5、+P(A2A3)+P(A3)=0+0+0+P(A3)=P()P(|)P(A3|)=.答案:6.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则P(B)=_.【解析】由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,且A1A2A3=,所以P(B)=PB(A1A2A3)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =+=.答案:三、解答题(每
6、小题10分,共20分)7.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%、35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.【解析】设A1:药材来自甲地, A2:药材来自乙地,A3:药材来自丙地, B:抽到优等品;P=0.4,P=0.35,P=0.25,P=0.65,P=0.7,P=0.85,P=PP+PP+PP=0.650.4+0.70.35+0.850.25=0.717 5.8.某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为,
7、若前两次未打破,第三次落下时打破的概率为,求透镜落下三次未打破的概率.【解析】以Ai,i=1,2,3表示事件“透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,因为B= ,所以P=P=PPP=.(15分钟30分)1.(5分)某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为()A.0.814B.0.809C.0.727D.0.652【解析】选A.以Ai表示一批产品中有i件
8、次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得,P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)= =0.9,P(A2)=0.4,P(B|A2)= 0.809,P(A3)=0.2,P(B|A3)= 0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)= 0.652.由全概率公式,得P(B)=P(Ai)P(B)=0.11+0.20.9+0.40.809+0.20.727+0.10.6520.814.2.(5分)某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次
9、品由_车间生产的可能性最大()A.甲B.乙C.丙D.无法确定【解析】选A.设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A1,A2,A3是样本空间中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035.由贝叶斯公式得P(A1|B)=0.514,P(A2|B)=0.200,P(A3|B)=0.286,所以
10、,该次品由甲车间生产的可能性最大.3.(5分)盒中有a个红球,b个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c个,再从盒中第二次抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率为_.【解析】设A:第一次抽出的是黑球,B:第二次抽出的是黑球,则B=AB+B,由全概率公式,P(B)=P(A)P(BP()P(B, 由题意,P(A)=,P(B|A)=,P()=,P(B|)=,所以P(B)=+=.答案:4.(5分)设盒中有m只红球,n只白球,每次从盒中任取一只球,看后放回,再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次,则第一次,第二次取到红球,第三次,第四次取到白球的概率为_.【解析】设Ri(i=
11、1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件,(i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有P(R1R2 )=P(R1)P(R2)P()P(R1R2)=.答案:5.(10分)假定患有疾病d1,d2,d3中的某一个的人可能出现症状S=中一个或多个,其中:S1=食欲不振 S2=胸痛S3=呼吸急促 S4=发热现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:疾病人数出现S中一个或几个症状人数d17 7507 500d25 2504 200d37 0003 500试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?
12、【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,P=0.387 5,P=0.262 5,P=0.35,P=0.967 7,P=0.8,P=0.5,所以P=PP+PP+PP=0.387 50.967 7+0.262 50.8+0.350.50.76.由贝叶斯公式可得,P=0.493 4,P=0.276 3,P=0.230 3.从而推测病人患有疾病d1较为合适.1.盒中放有12个乒乓球,其中9 个是新的.第1次比赛时从中选取3个来用,比赛后仍放回盒中,第2次比赛时再从盒中任取3个.则
13、第2次取出的球都是新球的概率为_;如果第2次取出的球都是新球,则第1次取到的都是新球的概率为_.【解析】设Ai:第一次比赛时用了i个新球,i=0,1,2,3,B:第二次取出的球全是新球;P=,P=,所以P=PP0.146,因为第二次取出的全是新球,P=PP=,所以P=0.24.答案:0.1460.242.袋中有n个球,其中n-1个红球,1个白球.n个人依次从袋中各取一球,每人取一球后不再放回袋中,求第i(i=1,2,n)人取到白球的概率.【解析】设Ai表示“第i人取到白球”(i=1,2,n)的事件,显然P(A1)=.由A2 ,故A2=A2,于是P(A2)=P(A2)=P()P(A2|)=.类似有P(A3)=P( A3)=P()P(|)P(A3|)=,P(An)=P(An)=1=,因此第i个人(i=1,2,n)取到白球的概率与i无关,都是.
