1、第1课时 最值、范围、证明问题 A级基础巩固1(2020湛江一中周考)已知M，N分别是椭圆y21和圆C：x2(y4)21上的动点，则|MN|的最大值为()A5 B6 C21 D31解析：圆心为(0，4)，设M(x，y)，则|MC|，又因为1y1，所以当y时，|MC|max3，则|MN|max31.答案：D2已知P为双曲线C：1上的点，点M满足|1，且0，则当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A. B. C4 D5解析：由0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(3，0)，而双曲线的渐近线为4x3
2、y0，所以所求的距离d.答案：B3(2020洛阳市期末)设P是椭圆1上的一点，M，N分别是圆(x3)2y24和圆(x3)2y21上的点，则|PM|PN|的取值范围是()A7，13 B8，12 C7，12 D8，13解析：因为椭圆1，所以焦点坐标为F1(3，0)，F2(3，0)，因为两圆(x3)2y24和(x3)2y21，所以圆心坐标为(3，0)和(3，0)，两圆的半径分别为R12，R21，因为两圆的圆心位于椭圆的焦点上，所以PF1R1PMPF1R1，PF2R2PNPF2R2，所以PF1PF2R1R2PMPNPF1PF2R1R2，所以7PMPN13，所以|PM|PN|的取值范围是7，13答案：A
3、4若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx22有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A3，) B(3，)C(1，3 D(1，3)解析：依题意可知双曲线渐近线方程为yx，与抛物线方程联立消去y得x2x20.因为渐近线与抛物线有交点，所以80，求得b28a2，所以c3a，所以e3.答案：A5(2020黄石三中月考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A8 B9 C10 D11解析：由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方
4、程为y21，焦点为F1(，0)，F2(，0)，由双曲线的定义可得|MF2|2a|MF1|6|MF1|，由圆E：x2(y)21可得E(0，)，半径r1，|MN|MF2|6|MN|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|MF1|取得最小值，且为|EF1|4，则|MN|MF2|的最小值为6419.答案：B6已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点坐标为(3，0)，|1，且0，则|的最小值是_解析：因为0，所以.所以|2|2|2|21，因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|min2，所以|min.答案：7(2020徐州一中月考)已知抛物线C：x24y的焦点为F，过点F且斜率为2的直线
5、l与抛物线C交于A，B两点，点M是抛物线C上一点，且M在直线l下方，则MAB面积的最大值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线l过点F，且斜率为2，所以直线l的方程为y2x1，联立整理得4y，即y218y10，则y1y218，故|AB|y1y2k18220.设直线l：y2xa，联立整理得x28x4a0，当直线l与抛物线C相切时，6416a0，解得a4，则直线l与l之间的距离d.因为点M是抛物线C上在直线l下方的一点，所以点M到直线l的距离dMd，则MAB的面积为|AB|dM2010.答案：108椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上(P不与A1，A2重合)且直线PA
6、2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是_解析：由椭圆C：1可知左顶点A1(2，0)，右顶点A2(2，0)，设P(x0，y0)(x02)，则1，得，因为kPA1，kPA2，所以kPA1kPA2，又因为2kPA21，所以21，解得kPA1，即直线PA1斜率的取值范围为.答案：9已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2并延长，与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围(1)解：由题意知
7、，2cb，a2b2c2，解得c1，a2，b.所以椭圆M的标准方程是1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y1)，直线AB：ykxm.将ykxm，代入1得，(4k23)x28kmx4m2120.则x1x2，x1x2.因为B，C，F2共线，所以kBF2kCF2，即，整理得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0，所以2k(mk)2m0, 解得m4k.所以直线AB：yk(x4)与x轴交于定点P(4，0)因为y3x，所以(x14，y1)(x11，y1)x5x14yx5x11.因为2x10)与直线l0：yx2相切，点A为圆C1上一动点，ANx轴于点N，且动点满足，设动点M的轨迹为
8、曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求|OT|的取值范围解：(1)设动点M(x，y)，A(x0，y0)，由于ANx轴于点N，所以N(x0，0)，又圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx2相切，所以r2，则圆C1：x2y24.由题意，得(x，y)(xx0，yy0)(x0，0)，所以即又点A为圆C1上的动点，所以x24y24，即y21.(2)当PQ的斜率不存在时，设直线OP：yx，不妨取点P，则Q，T(，0)，所以|OT|.当PQ的斜率存在时，设直线PQ：ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
9、联立可得(14k2)x28kmx4m240.所以x1x2，x1x2.因为k1k2，所以4y1y2x1x20.所以4(kx1m)(kx2m)x1x2(14k2)x1x24km(x1x2)4m24m244m20.化简得：2m214k2，所以m2.64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)16m20.设T(x3，y3)，则x3，y3kx3m.所以|OT|2xy2，所以|OT|.综上，|OT|的取值范围是.B级能力提升11(2020郑州一中模拟)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，6(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A. B3 C
10、. D.解析：设直线AB的方程为xtym，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，将xtym代入y2x，可得y2tym0，则y1y2m.因为6，所以x1x2y1y26，从而(y1y2)2y1y260.因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y23，故m3.不妨令点A在x轴上方，则y10，又F，所以SABOSAFO3(y1y2)y1y12，当且仅当y1，即y1时取“”，所以ABO与AFO面积之和的最小值是.答案：D12(2020南通市质检)已知椭圆C：1(ab0)，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点，满足2，则椭圆C离心率的最小值是_解析：设A(x1，y1)
11、，B(x2，y2)，F(c，0)，直线AB：yk(xc)因为A、B满足2，所以y12y2.由得(b2a2k2)y22kcb2yb4k20，y1y2，y1y2，由得y1，y2，代入得b2a2k28c28c2b2a2c29c2a2，所以椭圆C的离心率的最小值为.答案：13已知椭圆：1(ab0)，直线xy1经过的右顶点和上顶点(1)求椭圆的方程(2)设椭圆的右焦点为F，过点G(2，0)作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点设直线FM和FN的斜率为k1，k2.求证：k1k2为定值；求FMN的面积S的最大值(1)解：在方程xy1中，令x0，则y1，所以上顶点的坐标为(0，1)，所以b1.令y0，则x，所以
12、右顶点的坐标为(，0)，所以a.所以，椭圆的方程为y21.(2)如图所示：证明：设直线MN的方程为yk(x2)(k0)代入椭圆方程得(12k2)x28k2x8k220.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，k1k2kk0，所以k1k20，为定值. 解：因为MN直线过点G(2，0)，设直线MN的方程为yk(x2)，即kxy2k0，代入椭圆方程得(12k2)x28k2x8k220.由判别式(8k2)24(2k21)(8k22)0解得k21，图形在第四象限的面积S4，由对称性得，“心形”区域面积S23，故C错误D项，由B知，6个整点中有(1，0)，(1，0)，(0，1)与(0，1)到原点距离为1，D正确答案：ABD
