1、北京市朝阳区2021届高三数学下学期3月质量检测（一模）试题（一）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，则（ ）A B C D2如果复数的实部与虚部相等，那么（ ）A B1 C2 D43已知等差数列的前n项和为，则（ ）A0 B C D4已知圆截直线所得弦的长度为，则实数（ ）A B C D5已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近
2、线方程为（ ）A B C D6在中，若，则（ ）A B C D7某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A2 B C D8在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件9已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（ ）A8 B C D610在棱长为1的正方体中，P是线段上的点，过的平面与直线垂直当P在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ）A1 B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，
3、每小题5分，共25分11在的展开式中，的系数为_（用数字作答）12已知函数则_；的值域为_13已知向量，且，则向量的坐标可以是_（写出一个即可）14李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入_万元15华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，
4、则称是的一个周期为k的周期点给出下列四个结论：若，则存在唯一一个周期为1的周期点；若，则存在周期为2的周期点；若则不存在周期为3的周期点；若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（本小题13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：最小正周期为；最大值为2；（）写出能确定的三个条件，并求的解析式；（）求的单调递增区间17（本小题13分）如图，在四棱锥中，O是边的中点，底面在底面中，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值18（本小题14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫
5、，消除了绝对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：A地区B地区2019年人均年纯收入超过10000元100户150户2019年人均年纯收入未超过l0000元200户50户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立（）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；（）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（）从
6、样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由19（本小题15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，离心率为（）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，试判断以线段为直径的圈是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由20（本小题15分）已知函数（）求的单调区间；（）若直线与曲线相切，求证：21（本小题15分）设数列，若存在公比
7、为q的等比数列：，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”（）写出数列：3，6，12，24的一个“等比分割数列”；（）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比q的取值范围；（）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求m的最大值北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一 数学 参考答案 20213一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）A （3）A （4）D （5）A（6）D （7）C （8）C （9）B （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）1；（13）（答案不唯一）（14）（15）三、解答题（共6小题，共8
8、5分）（16）（共13分）解：（）确定的三个条件是，当且时，若函数满足条件，则，与矛盾，所以不能满足条件所以能确定的三个条件是，由条件，得，又，所以由条件，得，又，所以 由条件，得，又，所以所以经验证，符合题意 7分（）函数的单调递增区间为（）由（），得（） 所以的单调递增区间为（）13分（17）（共13分）解：（）在四边形中，因为，是的中点，则，所以四边形是平行四边形所以又因为平面，平面，所以平面5分（）连结因为平面，所以又因为点是的中点，且，所以因为，所以四边形是正方形所以如图，建立空间直角坐标系，则,所以 设是平面的一个法向量，则即令，则因为平面，所以是平面的一个法向量所以由图可知，二面
9、角为锐角，所以二面角的余弦值为13分（18）（共14分）解：（）设事件：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此可以估计为3分（）设事件：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则设事件：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则由题可知的可能取值为0，1，2；所以的分布列为所以的数学期望10分（）设事件为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽
10、取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据得答案示例1：可以认为有变化理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化14分（19）（共15分）解：（）由题意可设椭圆的方程为，则解得，所以椭圆的方程为，焦点坐标为和5分（）方法1：设
11、点的坐标为（），则过原点且与直线平行的直线方程为令，得直线的方程为，令，得假设以线段为直径的圆过定点，由椭圆的对称性可设定点为则因为，所以因为，所以则或所以以线段为直径的圆过定点，且定点坐标为和.15分方法2：设点的坐标为（），则过原点且与直线平行的直线方程为令，得直线的方程为，令，得所以以为直径的圆的半径为圆心的横坐标为所以以线段为直径的圆的方程为因为，所以以线段为直径的圆过定点等价于对任意的点，方程恒成立所以解得或所以以线段为直径的圆过定点，且定点坐标为和.15分（20）（共15分）解：（）令，得当时，在上单调递减；当时，和在上的变化情况如下：极小值当时，和在上的变化情况如下：极大值综上，
12、当时，在上单调递减， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.6分（）由题得设直线与曲线相切于点，则由-得，即若，则，直线与曲线不相切，不符合题意，所以所以令，则，所以单调递增因为，所以存在唯一使得将代入得所以易知在内单调递减，且，所以在内单调递增因为，所以，所以15分（21）（共15分）解：（）（答案不唯一）3分（）由，得，所以令，则单调递减所以（）的最小值为所以，即公比的取值范围是8分（III）首先证明当时，数列不存在“等比分割数列”假设当时，数列存在“等比分割数列”，则易知因为，且，所以因为，所以又因为，所以，与矛盾所以当时，数列不存在“等比分割数列”所以当时，数列，存在首项为公比为的数列满足：所以时，数列存在“等比分割数列”所以的最大值为515分
