1、24分大题抢分练(二)(建议用时：40分钟)20(12分)(2019沈阳高三教学质量监测三)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，M(2，y0)是C上一点，且|MF|2.(1)求C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由解(1)根据题意知，42py0，因为|MF|2，所以y02，联立解得y01，p2.所以抛物线C的方程为x24y.(2)四边形PAQB存在外接圆设直线AB方程为ykx1，代入x2
2、4y中，得x24kx40，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则16k2160，且x1x24k，x1x24，所以|AB|x1x2|4(k21)，因为C：x24y，即y，所以y.因此，切线l1的斜率为k1，切线l2的斜率为k2，由于k1k21，所以PAPB，即PAB是直角三角形，所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是圆的直径，所以点Q一定在PAB的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆又因为|AB|4(k21)，所以当k0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4.21(12分)(2019武汉模拟)已知函数f(x)xexaxaln x.(1)若ae，求f(x)
3、的单调区间；(2)一题多解若f(x)1，求a的取值范围解(1)因为f(x)xexaxaln x，所以f(x)(x1)exa(x0)，即f(x)(xexa)(x0)当ae时，f(x)(xexe)，令g(x)xexe(x0)，则g(x)(x1)ex0，所以g(x)在(0，)上单调递增因为g(1)0，所以当0x1时，g(x)0，f(x)0；当x1时，g(x)0，f(x)0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)(2)法一：设F(x)xexa(xln x)1，则F(x)(xexa)(x0)当a0时，F(x)xex1，F10，即f1，故a0不符合题意当a0时，若x(0,1)，则F
4、(x)xexa(xln x)1eaaln x1.令eaaln x10，即ln x，取x1e(0,1)，则eaaln x110，即F(x1)0，f(x1)1.故a0不符合题意当a0时，令h(x)xexa，x0，)，则h(x)(x1)ex0，故h(x)在0，)上单调递增因为h(0)a0，h(a)aeaaa(ea1)0，所以存在唯一的x0(0，a)使得h(x0)0，所以x(0，x0)时，h(x)0，F(x)0；x(x0，)时，h(x)0，F(x)0.故F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以F(x)的最小值为F(x0)x0ex0a(x0ln x0)1，因为h(x0)0，即x0e
5、x0a，两边取对数得x0ln x0ln a，所以F(x0)x0ex0a(x0ln x0)1aaln a1.令G(x)xxln x1，则G(x)ln x，所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故G(x)G(1)0，当且仅当x1时，等号成立故当且仅当a1时，F(x)0在(0，)上恒成立综上，当且仅当a1时，f(x)1恒成立，故a的取值范围为1法二：设F(x)xexa(xln x)1，则F(x)(xexa)(x0)设h(x)xexa(x0)，易知h(x)在0，)上单调递增当a1时，因为h10，h(1)e10，所以存在唯一x0，使得x0ex010，即x0ex01，x0ln x00.
6、所以当x(0，x0)时，h(x)0，即F(x)0，F(x)单调递减；当x(x0，)时，h(x)0，即F(x)0，F(x)单调递增故F(x)F(x0)0，即f(x)1，符合题意当a1时，h(x0)x0ex0a1a0，h(a)aeaa0，所以存在唯一x1(x0，a)，使得h(x1)0.所以当x(x0，x1)时，h(x)0，即F(x)0，F(x)单调递减故F(x1)F(x0)0，即f(x1)1，故a1不符合题意当0a1时，h(x0)x0ex0a1a0，h(0)a0，所以存在唯一x2(0，x0)，使得h(x2)0，所以当x(x2，x0)时，h(x)0，即F(x)0，所以F(x)在(x2，x0)上单调递
7、增，故F(x2)F(x0)0，即f(x2)0，故0a1不符合题意当a0时，f1，不符合题意当a0时，若x(0,1)，则f(x)xexaxaln xeaaln x，取x3e(0,1)，则f(e)eaa1，不符合题意综上，a的取值范围为1法三：当a0时，f(x)(xexa)0，故f(x)在(0，)上单调递增令t(x)xln x，则t(x)在(0，)上单调递增，又t10，t(1)10，所以存在唯一x0，使得t(x0)0，即x0ln x00，即x0ex01，故f(x0)x0ex0a(x0ln x0)1，所以任意x(0，x0)，都有f(x)f(x0)1.故a0不符合题意当a1时，f(x)xex(xln
8、x)exln x(xln x)，考察函数h(x)exx1，则h(x)ex1.所以x0时，h(x)0；x0时，h(x)0.所以h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增故h(x)h(0)0，所以exx1，故f(x)xln x1(xln x)1，故a1符合题意当a0且a1时，考察函数(x)xln xln a，因为(x)在(0，)上单调递增，且(a)a0，0，所以存在唯一x1，使得x1ln x1ln a，即x1ex1a，所以f(x1)1x1ex1a(x1ln x1)1aaln a1.令G(t)ttln t1，则G(t)ln t，故G(t)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故G(t)
9、G(1)0，当且仅当t1时，“”成立所以当a(0,1)(1，)时，aaln a10，即f(x1)10，f(x1)1，故a(0,1)(1，)不符合题意综上，a的取值范围是1法四：设h(x)xln x，x(0，)，易知h(x)在(0，)上单调递增当x(0,1)时，xln x1ln x，所以yxln x在(0,1)上的值域为(，1)；当x1，)时，yxln x的值域为1，)所以h(x)xln x的值域为R.故对于R上任意一个值y0都有唯一的一个正数x0，使得y0x0ln x0.因为xexaxaln x10，所以exln xa(xln x)10.设F(t)etat1，tR，所以要使exln xa(xl
10、n x)10，只需F(t)min0.当a0时，因为F(1)a10，即f(1)1，所以a0不符合题意当a0时，若t(，ln a)，则F(t)eta0，F(t)在(，ln a)上单调递减；若t(ln a，)，则F(t)eta0，F(t)在(ln a，)上单调递增所以F(t)minF(ln a)aaln a1.设m(a)aaln a1，a(0，)，则m(a)ln a，当a(0,1)时，m(a)0，m(a)在(0,1)上单调递增；当a(1，)时，m(a)0，m(a)在(1，)上单调递减所以m(a)maxm(1)0，所以m(a)0，F(t)min0，当且仅当a1时，等号成立又F(t)0，所以F(t)min0，所以a1.综上，a的取值范围为1
