1、扬州中学2021届高三上学期开学检测数学试卷2020.8一、单选题（每小题5分，计40分）1若集合，则（ ）ABCD2，设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）ABCD4若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ）ABCD5下列函数中，最小值为4的是（ ）ABCD6已知函数是定义在上的偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）ABCD7函数的图象大致为（ ）ABCD8已知函数，对任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）9若数列满足，则数列中的
2、项的值可能为（ ）ABCD10下面命题正确的是（ ）A“”是“”的充分不必要条件B命题“对任意，”的否定是“存在，使得”C设，则“且”是“”的必要不充分条件D设，则“”是“”的必要不充分条件11已知函数，则函数的图象不可能是（ ）ABCD12设函数，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）A不等式的解集为B函数在单调递增，在单调递减C若，则当时，有D若函数有两个极值点，则实数三、填空题（每小题5分，计20分）13已知，若，则_14设函数是定义在上的奇函数，且，则的值为_15已知实数满足，方程表示焦点在轴上的椭圆若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_16已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的
3、取值集合是_四、解答题（共6小题，计70分）17【本题满分10分】在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知的内角，的对边分别为，_，求的面积18【本题满分12分，】已知函数，若函数在点处的切线方程是（1）求函数的解析式；（2）求的单调区间19【本题满12分，】在我是演说家第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱4060100不喜爱202040总计6080140（1
4、）根据以上列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关；（精确到0.001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率附表：0.100.050.250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879，其中20【本题满分12分，】如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值21【本题满分12分，】某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成每批产品的非原料总成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，
5、经统计得到如下数据：1234567611213466101196根据以上数据，绘制如图所示的散点图观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合（1）根据散点图判断，哪一个函数模型适宜作为关于的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程；（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品参考数据：，62.141.54253550.123.47参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，22【本题满分
6、12分，】已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意，且，有参考答案1-8：BBCAC CCB 9-12：ABC ABD ACD ACD13； 14； 15； 16解：函数定义域，由题意可得，是唯一的根，故在上没有变号零点，即在时没有变号零点，令，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，取得最小值，故即17解：若选择，则由余弦定理得，因为，所以若选择，则，因为，所以，因为，所以若选择，则，所以，因为，所以，所以，所以由正弦定理，得因为，所以，所以，所以18解：（1）由，得，所以，所以把代入，得切点为，所以，得，
7、所以（2）由（1）知，令，解得或；令，解得所以）的增区间为，减区间为19解：（1）由题意得，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关（2）抽样比为，样本中喜爱该演讲的观众有名，不喜爱该演讲的观众有名记喜爱该测讲的4名男性观众为，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则基本事件分别为：，共15个其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故所求概率为20解：（1）如图，取的中点，连接，分别为，的中点，又且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）由题意知：，两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，设平面的法向量，则，令
8、，则，平面，为平面的一个法向量，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为21解：（1）根据散点图判断，适宣作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型（2）由，两边同时取常用对数得设，把代入，得，即关于的回归方程为（3）设生产了千件该产品则生产总成本为又在其定义域内单调递增，且，故最多能生产12千件产品22【详解】（）（i）当时，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即（ii）依题意，从而可得，整理可得：，令，解得当变化时，的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值（）证明：由，得对任意的，且，令，则令，当时，由此可得在单调递增，所以当时，即因为，所以由（）（ii）可知，当时，即，故由可得所以，当时，任意的，且，有
