1、2.函数与导数 1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.回扣问题 1 函数 f(x)12x1ln(x1)的定义域是()A.(0，)B.(1，)C.(0，1)D.(0，1)(1，)答案 B 2.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.回扣问题 2 已知 f(x)x2 x，则 f(x)_.答案 x22x(x0)3.分段函数是在其定义域的不同
2、子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.回扣问题 3 已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，则 ff1e _.答案 1e4.函数的奇偶性 若 f(x)的定义域关于原点对称，f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|);f(x)是奇函数f(x)f(x)；定义域含 0 的奇函数满足 f(0)0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找 f(x)与 f(x)的关系.回扣问题 4(1)若 f(x)2x2xlg a 是奇函数，则实数 a_.答案 110(2)已知f(x)为偶函数，它在
3、0，)上是减函数，若f(lg x)f(1)，则x的取值范围是_.答案 110，105.函数的周期性 由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)f(ax)(a0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得：函数 f(x)满足f(x)f(ax)，则 f(x)是周期 T2a 的周期函数；若 f(xa)1f（x）(a0)成立，则 T2a；若 f(xa)1f（x）(a0)恒成立，则 T2a.回扣问题5 已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意xR，都有f(x4)f(x)，若f(1)2，则f(2 015)等于()A.2B.2 C.2 015D.2 015 答案 B 6.函数的单调性 定义法：设 x1，
4、x2a，b，x1x2 那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是减函数；导数法：注意 f(x)0 能推出 f(x)为增函数，但反之不一定.如函数 f(x)x3 在(，)上单调递增，但 f(x)0；f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件.复合函数由同增异减的判定法则来判定.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.回扣问题 6(1)函数 f(x)1x
5、的单调减区间为_.(2)已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x1)f13 的 x 的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23答案(1)(，0)，(0，)(2)D 7.求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，
6、都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.回扣问题 7 函数 y 2x2x1的值域为_.答案(0，1)8.函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”.(2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|).(3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称；函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0(y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称.回扣问题 8(1)函数 y3x1x2 的图
7、象关于点_对称.(2)函数f(x)|lg x|的单调递减区间为_.答案(1)(2，3)(2)(0，1)9.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑
8、到二次项系数可能为零的情形.回扣问题9 关于x的方程ax2x10至少有一个正根的充要条件是_.答案，1410.指数与对数的运算性质：(1)指数运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr(a0，b0，r，sQ).(2)对数运算性质：已知 a0 且 a1，b0 且 b1，M0，N0，则 loga(MN)logaMlogaN，logaMNlogaMlogaN，logaMnnlogaM，对数换底公式：logaNlogbNlogba.推论：logamNnnmlogaN；logab 1logba.回扣问题 10 设 2a5bm，且1a1b2，则 m()A.10B.10 C.20 D.1
9、00答案 A 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0，1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1，0).11.指数函数与对数函数的图象与性质：回扣问题 11(1)已知 a213，blog213，clog1213，则()A.abcB.acbC.cbaD.cab(2)函数 yloga|x|的增区间为_.答案(1)D(2)当a1时，(0，)；当0a1时，(，0)12.函数与方程(1)对于函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.事实上，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根.(2)如果函
10、数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间a，b内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此时这个c就是方程f(x)0的根；反之不成立.回扣问题 12 设函数 yx3 与 y12x2的图象的交点为(x0，y0)，则 x0 所在区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)答案 B 13.导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).注意 过某点的切线不一定只有一条.回扣
11、问题13 已知函数f(x)x33x，过点P(2，6)作曲线yf(x)的切线，则此切线的方程是_.答案 3xy0或24xy540 14.常用的求导方法(1)(xm)mxm1，(sin x)cos x，(cos x)sin x，(ex)ex，(ln x)1x，1x 1x2.(2)(uv)uv；(uv)uvuv；uv uvuvv2(v0).回扣问题 14 已知 f(x)xln x，则 f(x)_；已知 f(x)exx，则 f(x)_.答案 ln x1 ex（x1）x215.利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)0，那么f(x)在该区间内为常函数.注意 如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.增函数亦如此.回扣问题15 函数f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.3，)B.3，)C.(3，)D.(，3)答案 B 16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)x3，有f(0)0，但x0不是极值点.回扣问题16 函数f(x)x33x23xa的极值点的个数是()A.2B.1 C.0D.由a确定 答案 C