1、第一部分 高考专题讲解 专题二 立体几何初步第六讲 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系主要包括空间线线、线面、面面的基本关系与基本定理，它们是立体几何的基础，是人们认识空间图形的有力工具，更是解决立体几何中推理和计算问题的基础，因此本讲内容是高考必考内容之一考情分析在高考中考查本部分内容的试题题型比较稳定，一般以选择题或填空题的形式出现，也可能作为解答题的第一问，难度不大，以中档题为主考情分析要点串讲1.平面的基本性质(1)三个公理及三个推论的作用如下表：名称作用公理1判定点在平面内、直线在平面内的依据公理2确定两个平面的交线、证明三点共线和三线共点的依据公理3以及三个推
2、论确定一个平面的条件、证明点线共面的依据(2)证明三点共线或三线共点的方法：证明空间三点共线，通常证明这些点都在两个平面的交线上；证明空间三线共点，可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证明另两条的交点在此交线上2空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系由平面上的两种位置关系扩充为三种，其情形如下表所示：位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有(2)平行直线公理 4：平行于同一直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等(3)异面直线不同在任何一个平
3、面内的两条直线叫做异面直线异面直线所成角的范围是0，2.3直线与平面平行、直线与平面垂直(1)直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(2)直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行(3)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面(4)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行4平面与平面平行、平面与平面垂直(1)平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面
4、，那么这两个平面平行(2)平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(3)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直(4)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.类型一 直线、平面平行的判定【例 1】(2011温州八校联考)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1 的各边长均为 2，E 是 AC 的中点(1)求证：AB1平面 BEC1；(2)求二面角 EBC1C 的正弦值高频考点 解 (1)证 明：连 接 B1C 交 BC1 于 点 F，连 接 EF.在
5、AB1C中，E，F分别为AC，B1C的中点，EFAB1.AB1平面BEC1，EF平面BEC1，AB1平面BEC1.(2)E为AC的中点，BEAC，从而BE平面ACC1A1，过C作CHEC1交EC1于H，CH平面CC1A1A，CHBE，CH 平 面 BEC1.CHBC1，过 H 作HDBC1于D，连接CD，则BC1平面CDH，BC1CD，故CDH 为二面角 EBC1C 的平面角在 Rt CHD 中，CHC1CCEC1E 25，CDBCCC1BC1 222 2 2，sinCDHCHCD 105.点评 在高考解答题中，经常考查直线与平面平行的证明问题，证明直线与平面平行常用的两种方法：(1)转化为线
6、线平行；(2)转化为面面平行证明线线平行常用的两种方法：构造平行四边形；构造三角形的中位线【探究 1】(福建卷)设 m，n 是平面 内的两条不同直线；l1，l2是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是()Am 且 l1 Bml1且 nl2Cm 且 nDm 且 nl2分析：即由选择支中的某一个条件能得到平面，相互平行，但由平面，相互平行不一定能得到选择支中的这个条件，对照选择支逐个作出判断即可解析：选项A作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，不能得到，但却能得到选项A，故选项A是必要而不充分条件；选项B作条件，此时m，n一定是平面内的两条相交直线(否则，则推出直线
7、l1l2，与已知矛盾)，这就符合两个平面平行的判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，但是在时，由于直线m，n在平面内的位置不同，只能得到m，n与平面平行，得不到ml1，nl2的结论，故条件是不必要的故选项B中的条件是充分而不必要的；选项C作条件，由于m，n只是平面内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到的必然结论，这个条件是不充分的，但却能得到选项C，故选项C是必要而不充分条件；选项D作条件，由nl2可得n，平面内的直线m，n分别与平面平行，由于m，n可能平行，得不到的必然结论，故这个条件是不充分的，当时
8、，只能得到m但得不到nl2，故条件也不是必要的，故选项D中的条件是既不充分也不必要的综上，选B.答案：B点评：解本题很容易出现把充分而不必要条件判断为必要而不充分条件的错误，问题的根源是作为选择题，在题目的叙述上和一般问题中的叙述正好相反在一般问题的叙述中往往是给出条件P，Q后，设问P是Q的什么条件，其解决方法是看PQ、QP能不能成立，确定问题的答案，但在选择题中却把“P是Q的什么条件”中的条件P放到了选项中，而把Q放在了题干中，这就容易使考生误以为“Q是P的什么条件”，导致错解题目考生在解决充要条件的问题时一定要注意题目中所说的什么是P，什么是Q.类型二 直线、平面垂直的判定及其性质【例 2
9、】(2011聊城模拟)如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.证明(1)PA底面ABCD，CDPA，又CDAC，PAACA，故CD平面PAC.又AE平面PAC，故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，PAAC.又E是PC的中点，AEPC.由(1)知CDAE，从而AE平面PCD，故AEPD.PAAB，ABAD，AB平面PAD，BAPD，故PD平面ABE.点评 证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直，而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直证明直线与直
10、线垂直和证明直线与平面垂直都是高考的重点，同时又是求线面角和二面角的基础【探究2】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)AMMA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由分析：(1)考虑面面垂直的性质定理；(2)在一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直面面垂直 线面垂直 面面垂直解：如图所示，(1)证明：ABAC，D是BC的中点，ADBC.底面ABC平面BB1C
11、1C，且底面ABC平面BB1C1CBC，AD侧面BB1C1C.ADCC1.(2)证明：延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.AMMA1，NA1ABA1B1.A1B1A1C1，A1C1A1NA1B1，C1NC1B1.底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C.截面C1NB侧面BB1C1C，截面MBC1侧面BB1C1C.(3)结论是肯定的，充分性由(2)已证明，下面证明必要性如上图所示，过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1C，ME侧面BB1C1C.又AD侧面BB1C1C，MEAD，M，E，D，A共面AM侧面 BB1C1C，AMDE.CC1AM，DECC1.D 是
12、BC 的中点，E 是 BC1 的中点AMDE12CC112AA1，AMMA1.点评：证明面面垂直常用的方法是利用面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的垂线一般先在现有直线中寻找垂线，若图中不存在这样的直线，则需要借助中点、高线等辅助线来解同时，已知面面垂直要转化为线面垂直来应用类型三 与折叠有关的问题【例3】如图(1)所示，已知等边ABC的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将ADE折起，使ADDB，连接AB，AC，得到如图(2)所示的四棱锥ABCED.(1)求证：AC平面ABD；(2)求四棱锥ABCED的体积分析(1)主要利用线线垂直证明线面垂直，先证ACBD，再证AC
13、AB，最后得到AC平面ABD，其中要借助折叠不变量去证明，还要利用计算去证明；(2)先建立起VABCED与VABCD的关系，再求得VABCD，最后求出四棱锥ABCED的体积解(1)证明：如图所示，连接DC，在等边ABC中，有BDCD，而BDAD，ADDCD，BD平面ADC.又AC平面ADC，BDAC.在ADB 中，ADDB1，ADB90，则 AB 2.由对称性，知 AC 2.在ABC 中，AB 2，AC 2，BC2，则 ABAC.又 BDABB，AC平面 ABD.(2)在梯形 BCED 中，易知 SCDE:SBCD1:2，VABCD2VADCE.VABCED32VABCD.又 VABCDVCA
14、DB1312ADDBAC1312 226，VABCED32 26 24.点评 本题是关于空间位置关系证明的问题，它结合了平面图形的折叠问题，这是此题的新颖之处解决这类问题，首先，要理解平面几何的相关知识，处理好平面几何折叠不变量，如线段的不变量，角在特定情境下的不变量等；其次，对平面图形折叠后构成几何体要有更加清楚的认识，搞清其形状及其他可用的条件；最后，就是利用好题设的所有条件，解决问题中所要求解决的问题类型四 空间角的求法【例 4】如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB1，BB1 31，E 为 BB1上使 B1E1 的点平面 AEC1 交 DD1于 F，交 A1D1的延长线
15、于 G.求：(1)异面直线 AD 与 C1G 所成的角；(2)二面角 AC1GA1的正切值分析(1)C1GA1 为异面直线 AD 与 C1G 所成的角(2)AA1FD1，FD1平面 A1B1C1G，考虑用垂线法作二面角 AC1GA1的平面角找角或作角 证明该角即为所求 解该角所在的三角形解(1)ADD1G，C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角连接C1F，如图所示 AE和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G的交线，AEC1F，由此可得 D1FBE 3.再由FD1GFDA 得 D1G 3.在 RtC1D1G 中，由 C1D11，D1G 3，得tanC1GD1 33，C
16、1GD16.故异面直线 AD 与 C1G 所成的角为6.(2)如图所示，过 D1作 D1HC1G，垂足为 H，连接 FH，又FD1平面 D1C1G，FD1C1G.C1G平面 D1FH，C1GFH.D1HF 为二面角 AC1GA1的平面角在 RtGHD1中，由 D1G 3，C1GD16，D1H 32.在 RtD1FH 中，tanD1HFD1FD1H 3322.所以二面角 AC1GA1 的正切值为 2.点评(1)作异面直线所成的角，常用的方法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线，有时还要利用取中点或作平行线将两条直线平移到相交；补形法：把空间图形补成
17、熟悉的几何体，目的在于方便发现平行关系，进而找到两条异面直线所成的角(2)求二面角的大小，关键在于找到二面角的平面角，找二面角的平面角最重要的方法是垂线法.好方法好成绩解决几何体体积计算问题的4种方法 1直接法直接利用几何体的体积计算公式进行几何体的体积计算2转换法当所给几何体的体积不能直接运用公式或直接运用公式不容易求出时，常常是转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，这种方法特别适用三棱锥的体积计算3分割法在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法在求一个几何体被分成两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的
18、体积求出其体积4补形法补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体这也是求多面体体积的常用方法.高考陪练1.(2011广东)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A20B15C12D10解析：从下底面5个点中任取一个点有5种取法，在上底面中，不与该点在同一条侧棱或同一个侧面上的只有两个，从这两个点中取一个有2种取法，选取的两个点便能构成一条对角线，共有5210条对角线答案：D2(2011浙江)若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解析：
19、若内存在直线ml，l，l，与题设矛盾，故选B.答案：B3(2011哈师大附中高三模拟)已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB.，则C若m，m，则D若m，n，则mn解析：对于A，由于平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能是相交或异面，因此A项不正确；对于B，由于垂直于同一个平面的两个平面也可能是相交平面(如在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1平面AC，平面BC1平面AC，但此时平面AB1与平面BC1是相交平面)，因此B项不正确；对于C，由于平行于同一直线的两个平面未必平行，因此C项不正确；对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行”可
20、知，D正确综合以上所述，选D.答案：D4(2011山东高考预测)已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：若n，n，则；若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；若n，m为异面直线n，n，m，m，则.其中真命题的个数是()A3B2C1D0A3B2C1D0解析：显然正确；若平面内的三点在平面的异侧，则和相交；显然正确，故选B.答案：B5(2011哈师大附中高三二模)已知a、b、c、d是空间四条直线，如果ac，bc，ad，bd，那么()Aab且cdBa、b、c、d中任意两条可能都不平行Cab或cdDa、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面，使得a且b，由ac，bc，知c，同理d，所以cd.若ab，则c与d可能平行，也可能不平行结合各选项知选C.答案：C高考专题训练六
