1、第一部分 高考专题讲解 专题二 立体几何初步第五讲 空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体以及直观图、三视图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何部分考查的一个重要方面，根据对新课标实施地区的高考试卷分析来看，三视图这一知识点的考查难度有可能会增大，目前仅以选择题或填空题的形式进行考查，考情分析预测2012年高考可能会以解答题的形式进行综合考查，同时考查空间几何体的表面积与体积的计算解决的策略应从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部、具体到抽象的原则认识空间图形考情分析要点串讲1.空间几何体的结构特征(1)棱柱的结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余每相邻
2、两个面的交线都互相平行(2)棱锥的结构特征：棱锥底面是多边形，侧面都是有一个公共点的三角形(3)棱台的结构特征：两底面是两个相互平行且相似的多边形，侧棱的延长线相交于一点，侧面是梯形(4)将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆柱，这条直线叫做轴；将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥，这条直线叫做轴；将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台，这条直线叫做轴；半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做球半圆弧旋转而成的曲面叫做球面2三视图有如下一些规则：(1)三视图的正(主)视图、俯视图、侧(左)视图分别
3、是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓的正投影围成的平面图形任意一个物体的长、宽、高，一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离(2)一个物体的三视图的排列规则是，俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图的宽度一样为了便于记忆，通常说“长对正、高平齐、宽相等”或“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”3画立体图形的直观图的要求不高，只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可4空间几何体的表面积与体积圆柱的表面积公式：S2r22rl2r(rl)；(其中r为底面半径，l为圆柱的高)；圆锥
4、的表面积公式：Sr2rlr(rl)(其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长)；圆台的表面积公式：S(r2r2rlrl)(其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长)；特殊棱柱正方体、长方体、以及圆柱的体积公式：VSh(S 为底面面积，h 为高)；一般棱柱的体积公式：VSh(S 为底面面积，h 为高)；棱锥和圆锥的体积公式：V13Sh(S 为底面面积，h为高)；圆台(或棱台)的体积公式：V13(SSSS)h(S、S 分别为圆台(或棱台)的上、下底面面积，h为圆台(或棱台)的高)；球的表面积和体积公式：S4R2，V43R3(R 为球的半径).类型一 棱柱、棱锥、棱台【例 1】在正方体上任意
5、选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点这些几何体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；高频考点不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析 正确，如图(1)；错，我们找不到符合题意的不是矩形的平行四边形；正确，如图(2)；正确，如图(3)；正确，如图(4)故填.答案【探究 1】把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为_解析：设长方形的一条边长为 x cm，则另一条边长为(6x)cm，且 0 x6，以长为(6x)cm 的边作为所围
6、圆柱的高 h，若设圆柱的底面半径为 r，则有 2rx，所以 r x2，因此圆柱的体积 Vx22(6x)14(6x2x3)，由于 V 14(12x3x2)，令 V0 得 x4，容易推出当 x4 时圆柱的体积取得最大值，此时圆柱的底面周长为 4 cm，圆柱的高为 2 cm，所以圆柱的底面周长与高的比为 2:1.答案：2:1点评：由于圆柱的侧面展开图是一个矩形，所以将一个矩形旋转一圈就得到一个圆柱在求圆柱体积的最大值时，将圆柱体积表示为矩形一边长的函数，求出函数解析式，然后借助导数求出函数的最大值，从而得到圆柱的最大体积以及此时矩形的一边的长，进而得到圆柱的底面周长与高的比该题的解答体现了函数思想的
7、应用类型二 直观图与三视图【例2】如图所示是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图分析 由三视图知该几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥几何体为正四棱锥与正四棱台的组合体 画正四棱台两底面的直观图 画正四棱锥的顶点 成图.解(1)画轴如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90.(2)画底面利用斜二测画法在平面xOy内画出下底面ABCD，在z轴上截取O，使OO等于三视图中相应的高度，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，在平面xOy内画出上底面ABCD.(3)画正四棱锥顶点在Oz上截取点P，使PO等于三视图中相应的高度(4)成图连接P
8、A，PB，PC，PD，AA、BB、CD、DD，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示点评 由三视图想象几何体时，要充分结合正(主)视图、侧(左)视图和俯视图想象几何体的结构特征熟知一些基本几何体的三视图对想象组合体的结构是非常有用的【探究 2】一个水平放置的三角形 ABC 用斜二测画法画出的直观图是如图所示的边长为 1 的正三角形ABC，则在真实图形中 AB 边上的高是_，三角形 ABC 的面积是_，你发现了什么问题吗？这个发现是_分析：这个图形既然是用斜二测画法画出来的，而在这里隐藏了坐标系xOy，我们只要加上这个坐标系，按照斜二测画法的规则“倒过去”即可得到真实图形解本题容易出错
9、的地方：一是加坐标系时方法选择不当，把坐标系加错，如以AB，AC为坐标系xOy的两个坐标轴，这样坐标系中的角xOy就是60了；二是在还原真实图形时用错了斜二测画法的规则，如把与横轴平行的线段长度变为原来的二倍或是不改变与纵轴平行的线段的长度等，都会导致计算结果的错误解析：将ABC放入一个锐角为 45的斜角坐标系xOy中，如图(1)所示，将其按照斜二测画法的规则还原为真实图形，如图(2)所示，在真实图形中 OAOA，ABAB，OC2OC，在ODC中，OCCDsin45 62，故在真实图形中 OC 6，即真实图形中三角形 ABC 的高为 6，三角形 ABC 的面积是 62.由于直观图的面积是 34
10、，故直观图和真实图的面积之比是3462 24.答案：6 62 直观图和真实图的面积之比为 24点评：水平放置的平面图形的直观图的画法第一，建立一个坐标系；第二，保持与坐标轴的平行性不变；第三，长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半按照这个规则很容易画出水平放置的平面图形的直观图，但高考命题中往往反其道而行之实际上，上面的三个规则是“可逆”的，我们可以“逆用规则”解决这类问题本题中只要找到了三角形的三个顶点的位置，问题就解决了类型三 几何体的表面积与体积【例 3】如图所示，已知正四棱锥 SABCD 中，底面边长为 a，侧棱长为 2a.(
11、1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积分析 外接球球心到各顶点的距离相等，内切球球心到各面的距离相等，两球心都在正四棱锥的高线上设外接球球心为O 构造三角形求OA的长 设内切球半径为r 利用体积相等求r 求体积、表面积解(1)如右图所示，连接 AC、BD 交于点 O1，连接 SO1，则 SO1平面 ABCD.设外接球球心为 O，则 O 在高 SO1 上连接 OA，则有|OA|OS|，在 RtSAO1中，|AO1|12|AC|22 a，又|SA|2a，|SO1|62 a.在 RtOAO1中，OO1SO1SO 62 a|OA|，又|AO1|2|OO1|2|OA|2，22 a262 a|
12、OA|2|OA|2，解得|OA|63 a，所以正四棱锥 SABCD 的外接球半径为 63 a，其体积为4363 a38 627 a3.(2)设内切球的半径为 r，球心为 M，显然该正四棱锥由以 M 为顶点的四个三棱锥(三棱锥 MSAB，三棱锥 MSBC，三棱锥 MSDC，三棱锥 MSAD)和一个四棱锥 MABCD 组成，这四个三棱锥和一个四棱锥的体积之和等于该正四棱锥的体积，在SBC 中，作 SEBC，垂足为 E，则|BE|12a，又|SB|2a，|SE|72 a，SSBC12a 72 a 74 a2.又4VMSBCVMABCDVSABCD，413SSBCr13SABCDr13S 正方形 AB
13、CD|SO1|，43 74 a2r13a2r13a2 62 a，解得 r 42 612a.所以该内切球的表面积为 442 612a24 73a2.点评 多面体、旋转体与球的外接、内切问题是高考考查的重点，此类问题多借助轴截面将立体几何问题转化为平面几何问题，然后通过解三角形求解对于多面体内切球的问题，如本题常通过间接法进行求解在本题中，外接球、内切球的球心都应在高SO1上，那么它们是同一个点吗？【探究 3】将一个钢球置于由 6 根长度为 6m 的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么这个钢球的最大体积为_m3.分析：求解时，先由题意确定满足条件的正四面体内的最大钢球的半径，再由球体积计算公式求得其
14、体积解析：设正四面体为 PABC，球心为 O，正四面体的边长和高分别为 a，h，钢球的半径为 R.由于钢球体积最大时与四个面都相切，显然 OA，OB，OC，OP 将正四面体分割为四个体积相同的四面体OABC，OPAB，OPBC，OPCA，所以13S 底h413S底R.所以 h4R.又 h 63 a，所以 R12，所以钢球的最大体积为V43R36.答案：6点评：本题是一道新颖的求解几何体体积的典型问题，它与最值问题进行交汇，使得其问题的能力立意更强了求解本题最主要的一点就是要确定出正四面体的内切球及其半径的大小，而解决这一点利用的是等积法等积法是求解立体几何相关问题的一种重要方法，如求解点到面的
15、距离、几何体的高、球体的半径等等，等积法的应用要配合好几何体的分割组合，这是等积法求解问题的关键点.好方法好成绩1.正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)2Ra 2R 2a 2R 3a 2一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减
16、半)，图形改变三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图 24 S 原图形，S 原图形2 2S 直观图3长方体的外接球(1)长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即 a2b2c22R.(2)棱长为 a 的正方体的体对角线等于外接球的直径，即 3a2R.4棱长为 a 的正四面体与球(1)斜高为 32 a.(2)高为 63 a.(3)对棱中点连线长为 22a.(4)外接球的半径为 64 a，内切球的半径为 612a.(5)正四面体的表面积为 3a2，体积为 212a3.5连
17、接棱长为 a 的正方体的四个顶点可以得到一个棱长为 2a 的正四面体，其体积为正方体体积的13.高考陪练1.(2011全国新课标版)在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()解析：当几何体是半个圆锥和半个棱锥的组合体时，其侧视图为D.答案：D2.(2011山东)下图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯(左)视图如下图；存在四棱柱，其正视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是()A3 B2 C1 D0解析：均为真命题答案：A3(2011江西)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示
18、，则该几何体的左视图为()解析：由左向右的正投影应是D中所示图形答案：D4(2011广东B)如图，某几何体的正视图，侧(左)视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A4 3B4C2 3D2解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，且底面是菱形，且侧面是等腰三角形，顶点在底面的射影为底面菱形对角线的交点，如图PABCD，ABD为等边三角形，且边长为2，AO 3，又PA2 3PO PA2AO23，V13SABCDPO13122 3232 3.答案：C5(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328 17C488 17D80解析：由三视图可知几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底为 2，下底为 4，高为 4，两底面积和为 212(24)424，四个侧面的面积为 4(422 17)248 17，所以几何体的表面积为 488 17，故选 C.答案：C高考专题训练五
