1、江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期12月考高二数学2022.12试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）公众号高中僧试题下载1已知点，则直线AB的倾斜角为（ ）A30B60C30或150D60或1202已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）A4B3C2D13在等比数列中，已知，则（ ）A4B6C8D104抛物线的准线方程为（ ）ABCD5已知圆E：与x轴相切，且截y轴所得的弦长为，则圆E的面积为（ ）ABCD6已知，双曲线的左右焦点分别为，点P是双曲线右支上一点，则的最小值为（ ）A5
2、B7C9D117已知数列满足，且，则（ ）ABCD8已知，为椭圆C：上不同的三点，直线l：，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若，则（ ）A0BCD二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9下列说法中，正确的有（ ）A直线在y轴上的截距是2B直线经过第一、二、三象限C过点，且倾斜角为90的直线方程为D过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为10过点且与圆相切的直线的方程为（ ）ABCD11已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判
3、断正确的是（ ）ABE的离心率等于C双曲线渐近线的方程为D的内切圆半径是12已知数列满足，设数列的前n项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是（ ）A的值为2B数列的通项公式为C数列为递减数列D三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13曲线在点处的切线的斜率为 14已知数列首项为2，且，则 15已知直线：与直线：（m，）相交于点M，点N是圆C：上的动点，则的取值范围为 16已知椭圆C：的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为 四、解答题（本大题共6小题，计70分）17已知二次函数，其图象过点，且（1）求a、b的值；（2）设函数，求曲线在处的
4、切线方程18已知抛物线C：上的点到抛物线C的焦点的距离为2（1）求抛物线C的方程；（2）直线l：与抛物线交于P，Q两个不同的点，若，求实数m的值19已知数列前n项和（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前n项和20已知圆C：（1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求CMN的面积的最大值，并求此时直线l的方程21已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，各项均为正数的等比数列满足，（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和22已知椭圆C：的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）
5、设点，过点的直线l不经过点A，且与椭圆C交于M，N两点，证明：直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值参考答案：1B【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率k，即可知直线的倾斜角【详解】由题意可知A，B两点间的斜率，设直线AB的倾斜角为，则，所以故选：B2A【分析】根据平均变化率的定义直接求解【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A3A【分析】用基本量，q表示出来可以求；或者考虑下标和公式【详解】在等比数列中，解得，则故选：A4D【分析】由抛物线定义，求出p，则可求准线方程【详解】抛物线的方程可变为，由，则其准线方程为故选：D5A【分析】根据圆E与x轴相切，可得，再结合圆心到y
6、轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解【详解】圆E：与x轴相切，截y轴所得的弦长为，圆心为，半径为，半弦长为，圆心到y轴的距离为，解得，即圆E的面积为：故选：A6C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，作图如下：，当且仅当A，P，共线时，等号成立故选：C7C【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案【详解】因为，所以，则，有，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以则，所以故选：C【点睛】利用
7、递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定系数法较为常见一、倒数变换法，适用于（A，B，C为常数）二、取对数运算三、待定系数法1、构造等差数列法2、构造等比数列法定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法（A，B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列（A，B，C为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列四、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公
8、式的方法8B【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求【详解】由，则由图知：当P位置变化时，或，故，所以，而直线AP、BP斜率存在且不为0（），故，所以，即或，当，化简得当时，显然，无解所以故选：B9BC【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于A：令时，故在y轴上的截距是2，A错对于B：直线的斜率为2，在x、y轴上的截距分别为、5，故直线经过第一、二、三象限，B对对于C：过点，倾斜角为90的直线方程为，故C对对于D：当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代入直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代入直线得，直线方程为：，故
9、D错故选：BC10AC【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解【详解】设切线为l，圆心到切线的距离为d，圆的半径为若l的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离，满足题意；若l的斜率存在，设直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，解得，所以切线方程为故选：AC11ACD【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r的表达式与c有关，可判断D项正确【详解】如图所示，因为M，O分别是，的中点，所以中，所以轴，A选项中，因为直线
10、的倾斜角为，所以，故A正确；B选项中，中，所以，得：，故B不正确；C选项中，由，即，即，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，所以D正确故选：ACD12ACD【分析】对于A只需令即可得出的值；对于B已知数列的前n项和，根据前n项和与数列的关系即可求出的通项公式，继而得到的通项公式；对于C已知的通项公式，利用递减数列定义列式判断即可；对于D化简得出数列，裂项相消即可得出【详解】对于A，即，故A正确；对于B，得，当时，故数列的通项公式为，B错误对于C令因为，所以，数列为递减数列，故C正确对于D故D正确故选：ACD【点睛】思路点睛
11、：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求132【分析】由导数几何意义即可求【详解】，所求切线斜率为2故答案为：214【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可【详解】由可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即，故答案为：15【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则M在以AB为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆C的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案【详解】由题设，：（m，）恒过定点，：（m，）恒过定点，因为，所以，即垂足
12、为M，所以M在以AB为直径的圆上，圆心为，半径为，故M轨迹方程为D：，而C：的圆心为，半径为2，所以两圆圆心的距离为，而M、N分别在两圆上，故的最大值为，最小值为，所以故答案为：16【分析】先由得到F为APQ的重心，再利用点差法求得a、b、c之间的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】设，线段PQ的中点为，由，知F为BPQ的重心，故，即，解得，又M为线段PQ的中点，则，又P、Q为椭圆C上两点，则，两式相减得，所以，化简得，则解得或（故舍去）则，则离心率故答案为：17（1）（2）【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b的方程组，可求得实数a、b的值；（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数
13、的几何意义可求得所求切线的方程（1）解：因为，则，所以，解得（2）解：因为的定义域为，且，所以，故切点坐标为，所以，函数在处的切线方程为18（1）（2）【分析】（1）运用抛物线定义即可；（2）联立方程解到韦达定理，再将OPOQ转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求值即可【详解】（1）已知抛物线过点，且，则，故抛物线的方程为（2）设，联立，消去y整理得，则，则，由OPOQ得，或当时，直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合，不符合题意，综上，实数m的值为19（1），（2）【分析】（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）题结果计算出数列的通项公式，再运用裂
14、项相消法即可计算出前n项和【详解】（1）由题意，当时，当时，当时，也满足上式，（2）由（1），可得则20（1）或；（2）最大值为8，或【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；（2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，而CMN的面积，从而可求出CMN的面积的最大值，再由的值可求出，进而可求出直线方程【详解】（1）圆C的圆心坐标为，半径，因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离当直线l的斜率不存在时，l：，显然不满足；当直线l的斜率存在时，设l：，即，由圆心C到直
15、线l的距离，得，即，解得或，故直线l的方程为或（2）因为直线l过点且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，则圆心C到直线l的距离为，又CMN的面积，所以当时，S取最大值8由，得，解得或，所以直线l的方程为或21（1），（2）【分析】（1）由，可得，两式相减化简可得，再求出，可得是首项为1，公差为3的等差数列，从而可求出，再由，可求出数列的公比q，从而可求出；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得【详解】（1）因为，当时，解得；当时，两式相减，得，即，又各项均为正数，所以，即因为满足上式，所以是首项为1，公差为3的等差数列所以设等比数列的公比为q，因为，所以，解得（或舍去），所以（2），所以，两式相减得：所以22（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得a，b，从而求得椭圆C的标准方程（2）设出直线l的方程并与椭圆C的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值【详解】（1）由题意得，所以，不妨设直线的方程为，即，所以原点O到直线的距离为，解得，所以，故椭圆C的标准方程为（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，即，设，联立，整理得：，则，解得，设直线AM的斜率与直线AN的斜率分别为，则，故直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值
