1、山东省淄博市张店区第五中学2019-2020学年高二数学下学期3月月考试题（含解析）一、单选题（9个小题，每小题5分）1.下列式子不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证.【详解】对于A选项，A选项正确；对于B选项，B选项正确；对于C选项，由复合函数的求导法则得，C选项正确；对于D选项，D选项错误.故选D.【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是导数的运算法则以及复合函数求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题.2.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
2、利用导数求出，由可求出的值【详解】，由题意可得，因此，故选D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题3.已知函数的导函数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求导数，将代入导函数解得【详解】将代入导函数故答案选D【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面是一个常数是解题的关键.4.“”是“函数在上单调递增”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关
3、系求出的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】，当时， 恒成立，即递增，但当时， 恒成立， 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”.故选A【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；数集转化法：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.5.已知函数的导函数为，在上满足，则下列一定成立的是（ ）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数在上的单调性，可得出和的大小关系，由此可得出结论.【详解】令，则.由已知得，当时，.故函数在上是增函数
4、，所以，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.6.若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出的导数，由其存在单调递减区间可得b的取值范围.【详解】解：由，可得，由题意可得存在，使得，即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，故选B.【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.7.设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】，令则，因为为函数的
5、一个极值点，所以是的一个根，即于是，则故A、B可能；对于D，则，与图矛盾，不可能，故选D8.已知函数f (x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）A. 1a2B. 3a6C. a3或a6D. a1或a2【答案】C【解析】【分析】易得有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可.【详解】由题有两个不相等的实数根,故,解得或.故选：C【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.9.已知变量，且，若恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由可化为，设函数，可得答案.【详解】解：即化为，故在上为增函数，故
6、的最大值为.故选.【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出后求导是解题的关键.二、多选题（3个小题，每小题5分）10.已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A. 数列的前n项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列【答案】AD【解析】【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基
7、本分析论证与求解能力，属中档题.11.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）A. 为等比数列B. C. 轴，且D. 四边形的内切圆过焦点【答案】BD【解析】【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解【详解】解：，对于：为等比数列则不满足条件，故错误；对于：即解得或（舍去）满足条件故正确；对于： 轴，且即解得不满足题意，故错误；对于：四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为，解得（舍去）或故正确故选：【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.12.过抛物线的焦点作直线
8、交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）A. 以线段为直径的圆与直线相离B. 以线段为直径的圆与轴相切C. 当时，D. 的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.【详解】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.对于选项C，D，设，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，若设，则，于是，最小值为4；当可得，所，.故选:ACD.【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.三.填空题13.函数的导函数的图象如图所示，则下列命
9、题正确的有_.为函数的单调递增区间； 为函数的单调递减区间； 函数在处取得极大值； 函数在处取得极小值.【答案】【解析】【分析】由导函数图象可知为的单调递增区间，为的单调递减区间，可知错误，正确；由可知错误；根据且在处函数单调性发生变化，由极小值定义可确定正确.【详解】当时，由图象知，可知的一个单调递增区间为在上单调递增，但并非完整的单调递增区间，错误；当时，由图象知，可知的一个单调递减区间为，正确；由图象知 不是的极值点，错误；由图像知，且在上，在上即在上单调递减，在上单调递增 是的极小值点.故答案为：【点睛】本题考查根据导函数图象研究原函数的性质，涉及到单调区间的判断、极值点的确定等知识；
10、关键是能够熟练掌握导函数与原函数单调性之间的关系以及极值点的定义.14.函数的图象在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可.【详解】由题知，又，所以函数的图象在点处的切线方程为,即.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题.15.对于函数，将满足的实数称为的不动点.若函数（且）有且仅有一个不动点，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题可知与有且仅有一个公共点,分与两种情况分别讨论求解即可.【详解】由题与仅有一个公共点.当时,根据函数图像的性质易得显然成立.当时, 与相切.设切
11、点为,则.故,即.综上, a的取值范围是或.故答案：【点睛】本题主要考查了数形结合求解参数范围的问题.需要根据题意分两种情况进行求解,同时也考查了直线与函数相切时的求解方法.属于中档题.16.已知定义在上的函数是奇函数，且，当时，有，则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】根据构造函数,分析的单调性,得出正负区间再求解即可.【详解】构造函数,因为当时,故当时为减函数.又定义在上的函数是奇函数,故为偶函数.故在当时为增函数.又,故.画出简图如图所示.又即,.故当时, ,此时.当时, ,此时.故的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解抽象函数的不等式的解集.需要根据
12、题意确定构造的函数性质,属于中档题.四、解答题(共6个大题，第17题10分，其他5个大题每个题12分)17.已知函数（1）求的单调区间； （2）求的最大值和最小值【答案】（1）见解析；（2）最大值为6，最小值为.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；（2）求出函数在2，1两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案【详解】（1） f(x)3x24x13(x)(x1)由f(x)0，得x；由f(x)0，得1x，f(x)在，1上的最大值为f(1)6，最小值为f.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在
13、闭区间上的最值，是中档题18.如图，三棱锥D-ABC中，E，F分别为DB，AB的中点，且.（1）求证：平面平面ABC；（2）求二面角D-CE-F的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】【分析】（1）取的中点，可得，从而得到平面，得到，由，得到，从而得到平面，所以平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到，得到的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角的余弦值【详解】（1）如图取的中点，连接，因为，所以，因为，所以，又因为，所以平面，平面所以.因为，分别为，的中点，所以.因为，即，则又因为，所以平面，又因为平面DAB，所以平面平面.（
14、2）因为平面，则以为坐标原点，过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.因为，在中，所以.在中，所以点，.设平面的法向量为.所以，即，可取.设平面的法向量为.所以，即，可取，则因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.19.已知函数f (x)的图象在点(2，f (2)处的切线方程为16xy200.（1）求实数a、b的值；（2）求函数f(x)在区间1，2上的最大值；【答案】(1);(2)当时,在上的最大值为；当时, 在上的最大值为.【解析】【分析】(1)利用函数图象在
15、点处的切线方程为,结合导数的几何意义列出关于的关系式再求解即可.(2)根据分段函数,分类讨论的范围,利用函数的单调性,即可求在上的最大值；【详解】(1)当时,因为函数图象在点处的切线方程为,所以切点坐标为，所以,解得；(2)由(1)得,当时,令可得或,故函数在和上单调递减,在上单调递增.时,的最大值为；当时,.当时,恒成立, ,此时在上的最大值为；当时,在上单调递增,且令,则,当时,在上的最大值为；当时, 在上的最大值为综上,当时, 在上的最大值为,当时, 在上的最大值为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解参数的问题,同时也考查了分类讨论分析函数的最值问题等.属于中档题.20.在正项等比
16、数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前100项的和.【答案】（1）；（2）5050.【解析】【分析】（1）根据题意，求得首项和公比，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）求得，写出数列的前100项的和，即可求解.【详解】（1）设公比为，则由题意可知又，解得，所以.（2）由（1）可得，则数列的前100项的和.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数，向量，函数.（1）求的极值；（2）判断在区间内的零点个数.【答案】(1) 的
17、极小值为,无极大值；(2) 在内有一个零点【解析】【分析】(1)利用导数研究函数的单调性,由此可求得的极值.(2)求出的解析式,利用导数判断函数在区间的单调性,结合零点存在性定理即可判断出函数在区间的零点个数.【详解】(1)函数的定义域为,令,则,令,令得,令有,所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以.故当时解得,当时解得,所以,函数上单调递减,在上单调递增.故的极小值为,无极大值.(2) ,故,当时, ,所以,故,所以函数在上单调递增,又因为,故在内有一个零点.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值的问题.同时也考查了利用导数与三角函数的性质以及零点存在性定理判断函数的零点个
18、数问题.属于难题.22.已知椭圆的右焦点为F，过点的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为，当l的斜率不存在时，.（1）求椭圆E的方程.（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）.（2）以AB为直径的圆恒过定点.【解析】【分析】（1）根据直线的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以直径的圆的方程，令，即可求得，即可判断以为直径的圆过定点【详解】（1）设椭圆半焦距为c，由题意，所以.l的斜率不存在时，所以，.所以椭圆E的方程为.（2）以AB为直径的圆过定点.理由如下：当直线的斜率存在时，设的方程，联立方程组，消去，整理得，所以，所以，以为直径的圆的方程：，即，令，则，解得或，所以为直径的圆过定点当直线l斜率不存在时，此时以AB为直径的圆的方程为.显然过点综上可知，以为直径的圆过定点【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题
