1、课时素养评价 五平面向量基本定理 (15分钟30分)1.设e1,e2是平面内一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是()A.e1-e2与e2-e1B.2e1+3e2与-4e1-6e2C.e1+2e2与2e1-e2D.-e1+e2与e1-e2【解析】选C.因为只有不共线的两个向量才能作为基底,选项A、B、D中的两个向量都是共线的,不可以作为基底.选项C中的两个向量不共线,可作为基底.2.(2020湖州高一检测)在OAB中,P为线段AB上的一点,=x+ y,且=2,则()A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=【解析】选A.因为=2,所以+=2+2,即3=2+,所以=+,即x=,
2、y=.3.(2020长沙高一检测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么=()A.-B.+C.-D.+【解析】选C.=+=+=-.【补偿训练】如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选D.根据题意得:=(+),又=+,=,所以=+.4.如图所示,在64的方格中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点),则=_.【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2,则|e1|=|e2|=1,e1e2=0,由题图可知,=3e1+2e2,=6e1-3e2,=(3e1+2e2)(6
3、e1-3e2)=18+3e1e2-6=12.答案:125.(2020台州高一检测)如图,在ABC中,AB=2,AC=3,BAC=60,=2,=2.(1)求CD的长;(2)求的值.【解析】(1)因为=2,所以=,所以=-=-,所以=,即CD的长为;(2)=-=-+=-(-)+=+,所以=+=+23=. (20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于()A.a-bB.2(b-a)C.2(a-b)D.b-a【解析】选B.
4、如图,a=(+),b=(+),相减得b-a=(-),所以=2(b-a).2.如图,在平行四边形ABCD中,AE=AB,CF=CD,G为EF的中点,则=()A.-B.-C.-D.-【解析】选A.在平行四边形ABCD中,AE=AB,CF=CD,G为EF的中点,=+=+=+(+)=+=+=-.3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=(R),则x,y满足的关系式是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0【解析】选A.由=,得-=(-),即=(1+)-.又2=x+y,所以消去得x+y=2.【补偿训练】设a,b为平面内所有向量的一组基底,已知向量=a-kb,=
5、2a+b, =3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于()A.2B.-2C.10D.-10【解析】选A.=+=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.因为A,B,D三点共线,所以存在实数使得=,即a-kb=2a-(k+2)b=2a-(k+2)b.因为a,b为基底向量,所以解得=,k=2.4.(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组,其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是()A. 与B.与C.与D.与【解析】选AC.对于A,与不共线;对于B,=-,则与共线;对于C,与不共线;对于D,=-,则与共线.由平面向量基底的概念知A、C中的向量组
6、可以作为平面的基底.【补偿训练】(2020德州高一检测)若点D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是()A.=a-bB.=-a+bC.=-a-bD.=a+b【解析】选BC.因为点D为边BC的中点,所以=+=+=a+b,所以=-a-b;因为点E为边CA的中点,所以=-a+b;因为点F为边AB的中点,所以=+=-=-a-b;因为=+=a+b,所以=-=-a-b.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示,已知点G是ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且=x,=y,则3x+y的最小值为_.【解析】因为G是ABC的重心,所以=+,又
7、=x,=y,所以=+,因为M,G,N三点共线,所以+=1,所以3x+y= (3x+y)=1+2=.当且仅当=,即x=, y=时,等号成立,故3x+y的最小值为.答案:6.方格纸中向量a,b,c如图所示,若c=a+b,则+=_.【解析】设水平向右,竖直向上的单位向量分别为e1,e2,则a=e1+3e2,b=3e1-e2,c=5e1+5e2,又c=a+b,所以所以即+=3.答案:3三、解答题7.(10分)(2020锦州高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.(1)试以a,b为基底表示,;(2)求证:A,G,C三点共线.【解析】(1)
8、=-=b-a,=-=a-b;(2)因为D,G,F三点共线,所以与共线,所以存在实数,使得=,所以=+=b+=a+b,因为B,G,E三点共线,所以与共线,所以存在实数,使得=,所以=+=a+=a+b,因为a,b不共线,所以解得=,所以=(a+b)=,所以A,G,C三点共线.【补偿训练】如图所示,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示,;(2)求证:B,E,F三点共线.【解析】(1)如图所示,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,=(a+b),=(a+b),=b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).(2)由(1)知,=,所以,共线,又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.