1、第29讲正弦定理、余弦定理的综合应用1进一步掌握正弦定理、余弦定理的应用2能利用正弦定理、余弦定理解决有关实际应用问题3能利用正弦定理、余弦定理解决与三角形的形状，面积等有关综合问题 知识梳理1解三角形在实际问题中的应用三角形的实际应用题实质还是求解三角形，应掌握实际问题的常用角：方向角、方位角、仰角、俯角等概念，并掌握求解实际问题的一般步骤和方法(1)有关角的概念方向角：指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成：正北或正南，北偏东30，北偏西30，南偏东30，南偏西30等方位角：指从正北方向按顺时针旋转到目标方向线的夹角俯角、仰
2、角：指视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角如图中OD，OE是视线，DOC是仰角，EOC是俯角(2)用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤审题：理解题意，分清已知和未知，画出示意图建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2三角形的常用面积公式(1)SABCaha(其中ha表示边a上的高)；(2)SABCabsin Cbcsin Aacsin B；(3)SABC(abc)r(r
3、为三角形内切圆的半径)三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在解答题中，难度不大出现的题型有：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量 热身练习1若点A在点B的北偏西30，则B在点A的(C)A西偏北30 B西偏北60C南偏东30 D东偏南30 如图，可知B在A的南偏东30. 2如图，某河段的两岸视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且AB200米，则A，C两点的距离为(B)A.米 B.米C.米 D.米 如图，C60，由正弦定理
4、知，所以AC.3在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为(A)A. m B. mC. m D. m 画出示意图，如下图，在ABC中，sin 60，所以BC，在BCD中，即，所以CD(m)4在ABC中，已知2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是(B)A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形 (方法一：转化为边的关系进行判断)由正弦定理及余弦定理得2ac，所以a2c2b2c2，所以ab，故ABC是等腰三角形(方法二：利用角的关系进行判断)2sin Acos Bsin Csin(AB)，所以sin Acos Bcos Asin B0，所以
5、sin(AB)0，因为AB，所以AB0，即AB，所以ABC为等腰三角形5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积为(C)A3 B.C. D3 c2a2b22abcos C(ab)26a2b22ab6，所以2abcos2ab6，所以ab6.所以Sabsin C6. 解三角形在实际问题中的应用(经典真题)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m. 在RtABC中，CAB45，BC100 m，所以AC100
6、 m在AMC中，MAC75，MCA60，从而AMC45.由正弦定理得，所以AM100 m.在RtMNA中，AM100 m，MAN60，由sin 60得MN100150 m. 150 (1)解决实际应用问题的过程都要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)转化为解三角形模型后，通常会遇到如下两种情况：已知量与未知量全部集中在某一个三角形中，此时直接利用正弦定理或余弦定理；已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择满足条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余三角形中求出问题的解1如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
7、驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD100m. 由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100 m. 与三角形面积有关的应用(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B.C. D. 要善于根据题目特点，联想相关公式和定理如题中面积公式中出现了a2b2c2，由此可联想余弦定理；又由余弦定理的角的特点，联想应运用面积公
8、式中的哪一个 由余弦定理得cosC，所以a2b2c22abcosC，所以SabcosC，又因为SabsinC，所以abcos CabsinC，所以sin Ccos C，即tan C1.因为C(0，)，所以C. C 解决与面积有关的综合时，要注意根据题目特点，合理地选择相关公式2(2018北京卷)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B60；的取值范围是(2，). 由余弦定理得cos B，所以a2c2b22accos B.又因为S(a2c2b2)，所以acsin B2accos B，所以tan B，所以B.又因为C为钝角，所以CA，所以0A.由正弦定理得.因为0tan A，所以，所以2
9、，即2. 解三角形的综合应用(2018广州模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2，acos B(2cb)cos A.(1)求角A的大小；(2)求ABC周长的最大值 (1)(方法一)由已知，得acos Bbcos A2ccos A.由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，即sin(AB)2sinCcosA.因为sin(AB)sin(C)sin C，所以sin C2sin Ccos A.因为sin C0，所以cos A.因为0A，所以A.(方法二)由已知根据余弦定理，得a(2cb).即b2c2a2bc.所以cos A.因为0A， 所以A
10、.(2)(方法一)由余弦定理a2b2c22bccos A, 得bc4b2c2，即(bc)23bc4.因为bc()2，所以(bc)2(bc)24.即bc4(当且仅当bc2 时等号成立)所以abc6.故ABC周长abc的最大值为6.(方法二)因为2R，且a2，A，所以bsin B，csin C.所以abc2(sin Bsin C)2sin Bsin(B)24sin(B)因为0B，所以当B时，abc取得最大值6.故ABC周长abc的最大值为6. (1)当确定三角形的条件不足时，三角形的面积、周长等是发生变化的，由此可研究有关最值问题，探求三角形中的有关元素，在什么条件下可取到最值(2)求三角形条件下
11、的有关最值问题，思考的方法通常有如下两种：利用基本不等式求最值(如方法一)转化为函数的最值(如方法二)3(经典真题)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值 (1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B，所以tan B1.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等
12、号成立因此ABC的面积的最大值为1.1解三角形应用题的基本思路是：(1)准确理解题意，分清已知与所求，并准确理解题中的有关名称、术语(如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等)，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题；(2)根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在一个或几个三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求解数学模型的解；(4)检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得到实际问题的解，并进行作答2.判断三角形的形状特征，必须深入研究边、角间的关系，解这类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化，逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即边、角要统一，通过运算求出边或角的大小，从而作出正确判断其一般思路如下：3求解有关三角形问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们解题外，还应掌握：(1)三角形内角和定理ABC，大边对大角等；(2)sin(AB)sin C，sincos等；(3)三角形面积公式Sabsin Cbcsin Acasin B.
