1、第2讲函数与方程思想、数形结合思想研考点考向破重点难点一函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系考点1 构建“函数关系”解决问题典型例题 已知数列an是各项均为正数的等差数列若a12，且a2，a3，a41成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2
2、)设数列an的前n项和为Sn，bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值【解】(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，所以公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)由(1)知Snn(n1)，则.所以bn，令f(x)2x(x1)，则f(x)20恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，所以当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为. 规律方法数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数
3、列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地发现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平 对点训练1对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_解析：设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4时恒为正，等价于即解得x3或x1.故x的取值范围为(，1)(3，)答案：(，1)(3，)2(2018高考北京卷)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_解析：ABC的
4、面积Sacsin B(a2c2b2)2accos B，所以tan B，因为0B180，所以B60.因为C为钝角，所以0A30，所以0tan A2，故的取值范围为(2，)答案：60(2，)3已知a，b，c为空间中的三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|3，ca2，cb1，则对于任意实数x，y，|cxayb|的最小值为_解析：由题意可知|a|b|1，ab0，又|c|3，ca2，cb1，所以|cxayb|2|c|2x2|a|2y2|b|22xca2ycb2xyab9x2y24x2y(x2)2(y1)24，当且仅当x2，y1时，(|cxayb|2)min4，所以|cxayb|的最
5、小值为2.答案：2考点2 组建“方程形式”解决问题 典型例题 (一题多解)已知sin()，sin ()，求的值【解】法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得所以sin cos ，cos sin .从而.法二：令x.因为，且.所以得到方程，解这个方程得x. 规律方法运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin cos 与cos sin 的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值 对点训练1设非零向量a，b，c满足abc0，|a|2，b，c120，则|b|的最大值为_解析：因为abc0，所以a(bc)，所以|a|2|b|22|b|c|cos 120|c|2，即|c|2|b|c|b|240，所
6、以|b|24(|b|24)0，解得0时，在x0，m上，必须要求ysin x和ycos x的图象不在ya的同一侧，所以m的最大值是.2已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_解析：因为(ac)(bc)0，所以(ac)(bc)如图所示设c，a，b，ac，bc，即，又所以O，A，C，B四点共圆当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.答案：练典型习题提数学素养一、选择题1已知向量a(，1)，b(2，1)，若|ab|ab|，则实数的值为()A1B2C1 D2解析：选A.法一：由|ab|ab|，可得a2b22aba2b22ab，所以ab0，故
7、ab(，1)(2，1)2210，解得1.法二：ab(22，2)，ab(2，0)由|ab|ab|，可得(22)244，解得1.2(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析：选A.法一：设等差数列an的公差为d，因为所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d，因为所以解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.3已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且
8、只有一个实根，则实数a的取值范围为()A(1，) B(1，3)C(，1) D(2，4)解析：选A.画出f(x)图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f(x)的图象与直线yxa的图象只有一个交点，首先让直线过(0，1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足f(x)图象与直线yxa只有一个交点，所以a的取值范围是(1，)4(2018高考全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2C. D. 解析：选C.不妨设一条渐近
9、线的方程为yx，则F2到yx的距离db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.5已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为()A3 B.C2 D2解析：选D.设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a29，即a29，那么正六棱柱的体积Vhh，令y9h，则y9，令y0，解得h2，易知当h2时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大6设函数f(x)在R上存在导函数f(x)，对于任意的实数x，都有f
10、(x)f(x)2x2，当x0时，f(x)12x，若f(a1)f(a)2a1，则实数a的最小值为()A B1C D2解析：选A.设g(x)f(x)x2，则g(x)g(x)0，所以g(x)为R上的奇函数当x0时，g(x)f(x)2x10，Sn是数列an的前n项和，则Sn取得最大值时n_解析：设等差数列an的公差为d，因为3a47a7，所以3(a13d)7(a16d)，所以4a133d.因为a10，所以d0)，由题意，得解得所以ana1qn13n，(2)由(1)得bnlog332n12n1，又bn1bn2，所以数列bn是首项b11、公差为2的等差数列，所以其前n项和Snn2.所以cn，所以Tn.11
11、已知函数f(x)ex2x2a，xR，aR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解：(1)由f(x)ex2x2a，知f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.令xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，故函数f(x)在区间(ln 2，)上单调递增所以f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明：设g(x)exx22ax1(x0)，则g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a.又aln
12、 21，则g(x)min0.于是对xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增于是对x0，都有g(x)g(0)0.即exx22ax10，故exx22ax1.12已知椭圆C的离心率为，过上顶点(0，1)和左焦点的直线的倾斜角为，直线l过点E(1，0)且与椭圆C交于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由解：(1)因为e，b1，所以a2，故椭圆C的标准方程为y21.(2)因为直线l过点E(1，0)，所以可设直线l的方程为xmy1或y0(舍去)联立消去x并整理，得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1y2，则y1y2，y1y2，所以|y2y1|，所以SAOB|OE|y2y1|.设t，则g(t)t，t，所以g(t)10，所以g(t)在区间，)上为增函数，所以g(t)，所以SAOB，当且仅当m0时等号成立所以AOB的面积存在最大值，最大值为.
