1、课时素养评价 十五余 弦 定 理 (20分钟35分)1.在ABC中,a=7,b=4,c=,则ABC的最小角为()A.B.C.D.【解析】选B.由三角形边角关系可知,角C为ABC的最小角,则cos C= =,因为C(0,),所以C=.【补偿训练】在ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.【解析】根据余弦定理的推论得,cos A=.因为A(0,),所以A=,cos C=,因为C(0,),所以C=.所以B=-A-C=-=,所以A=,B=,C=.2.(2020合肥高一检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A.B.C.2D.3【解析
2、】选D.由余弦定理得5=b2+4-2b2,解得b=3.3.(2020定远高一检测)在ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于()A.60B.45C.120D.150【解析】选D.在ABC中,因为a2=b2+c2+bc所以b2+c2-a2=-bc,由余弦定理可得cos A=-.又因为A(0,),所以A=150.4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cos B=_.【解析】因为b2=ac,且c=2a,所以cos B=.答案:5.(2020苏州高一检测)在点O的正上方有气球P,从点O的正西方A点,测得气球P的仰角为30,同时从点O南偏东60的B
3、点,测得气球P的仰角为45.若A,B两点的距离为10 m,则气球P离地面的距离为_m.【解析】依题意可得图形,且OAP=30,AOB=150,OBP=45,AB=10,AOP=POB=90,设OP=x,则OB=x,AO=x,在AOB中由余弦定理可得AB2=AO2+BO2-2AOBOcosAOB,即(10)2=(x)2+x2-2xxcos 150,解得x=10或x=-10(舍去).答案:106.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)2=b2-ac.(1)求cos B的值;(2)若b=,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(a-c)2=b2-ac,可得a2+c2-b
4、2=ac.所以=,即cos B=.(2)因为b=,cos B=,由余弦定理得b2=13=a2+c2-ac=(a+c)2-ac,又a+c=2b=2,所以13=52-ac,解得ac=12. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,a=,若a-b=ccos B-ccos A,且ab,则ABC的面积为()A.2B.C.D.【解题指南】利用余弦定理统一成边之后判断出三角形的形状,然后求其面积.【解析】选B.因为a-b=ccos B-ccos A,所以a-b=c-c,去分母得2a2b-2b2a=a2b+c2b-b3-(b2a+c2a-
5、a3),整理得ab(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2-c2),因为ab,所以ab=a2+ab+b2-c2,即a2+b2=c2得ABC为直角三角形,则SABC=.2.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5【解析】选D.由23cos2A+cos 2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos A=.因为A是锐角,所以cos A=.又因为a2=b2+c2-2bccos A,所以49=b2+36-2b6.解得b=5或b=-.又因为b0,所以b=5.3.在ABC中,a,b,c
6、为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.cos B=+,因为0BbB.a0,所以a2b2,又a,b均为正数,所以ab.4.ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为()A.19B.14C.-18D.-19【解析】选D.由余弦定理的推论知cos B=,所以= |cos(-B)=75=-19.【误区警示】本题应该特别注意两向量的夹角不是角B而是角B的补角,忽视这一点很容易出错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020本溪高一检测)在ABC中,a=5,b=7,c=8,则下列角的正
7、弦值等于的是()A.角BB.角CC.角A+BD.角A+C【解析】选AD.cos B=,则B=60,A+C=120,则sin B=,sin(A+C) =.6.(2020滕州高一检测)在ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(a+c)(b+c)=91011,则下列结论正确的是()A.abc=457B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则ABC的面积为【解析】选CD.因为(a+b)(a+c)(b+c)=91011所以可设(其中x0),解得:a=4x,b=5x,c=6x,所以abc=456,所以A错误;由上可知:c边最大,所以三角形中C角最大,又c
8、os C=0,所以C角为锐角,所以B错误;由上可知:a边最小,所以三角形中A角最小,又cos A=,所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C.由三角形中C角最大且C角为锐角可得2A(0,),C,所以2A=C,所以C正确;因为sin C=,c=6,所以SABC=absin C=,所以D正确.【光速解题】本题选项C、D最难求,故可以针对性求解A、B,通过两选项的错误和多选题的基本要求易得CD选项正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在ABC中,若a=2bcos C,则ABC的形状为_.【解题指南】因为三角形是仅从边或者角上进行定义的,故判断三角形的形状应该将所给关系
9、式统一,即全部化为角或者全部化为边后再进行判断.【解析】因为a=2bcos C=2b=,所以a2=a2+b2-c2,即b2=c2,b=c,所以ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形【补偿训练】在ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.【解析】由余弦定理可知cos A=,cos B=,cos C=,代入已知条件,得a+b+c=0,通分得a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理得(a2-b2)2=c4.所以a2-b2=c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根据勾股定理的逆定理知ABC是直角三角形.8.在ABC中,
10、设边a,b,c所对的角为A,B,C,若cos A=,则4cos(B+C)cos 2A=_;若同时a=,则bc的最大值为_.【解析】根据题意,在ABC中,若cos A=,则A=,则B+C=,2A=,则4cos(B+C)cos 2A=4cos cos =4=1,若a=,则a2=b2+c2-2bccos A,即b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=6,又由(b+c)24bc,则有4bc-3bc=bc6,即bc的最大值为6.答案:16四、解答题(每小题10分,共20分)9.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两城市相距20 km,C,D两城市相距
11、34 km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8 s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B,C,D三市的距离.【解析】在ABC中,由题意得AB-AC=1.58=12 (km).在ACD中,由题意得AD-AC=1.520=30 (km).设AC=x km,AB=(12+x) km,AD=(30+x) km.在ABC中,cosACB=,在ACD中,cosACD=.因为B,C,D在一条直线上,所以=-,即=,解得x=.所以AB= km,AD= km.即震中A到B,C,D三市的距离分别为 km, km, km.10
12、.(2020沈阳高一检测)已知ABC同时满足下列四个条件中的三个:A=;cos B=-;a=7;b=3.(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求ABC的面积.【解析】(1)ABC同时满足,.理由如下:若ABC同时满足,.因为cos B=-.所以A+B,矛盾.所以ABC只能同时满足.所以ab,所以AB,故ABC不满足.故ABC满足,.(2)因为a2=b2+c2-2bccos A,所以72=32+c2-23c.解得c=8,或c=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsin A=6.1.如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加长
13、度决定【解析】选A.设直角三角形的三条边分别为a,b,c,c为斜边,设同时增加长度k,则三边长变为a+k,b+k,c+k(k0),最大角仍为角C,由余弦定理的推论得cos C=0,所以新三角形为锐角三角形.2.在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.【解析】(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B.代入已知得,cos B=.因为B(0,),所以B=.(2) cos A+cos C =cos A+cos(-B-A)=cos A+cos=cos A+sin A=sin,因为B=,所以A,A+.当A+=,即A=时,sin取得最大值1.即cos A+cos C的最大值为1.
