1、解答题综合限时练2171(满分70分,限时70分钟)本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b2c2a2abcosBb2cosA.(1)求A;(2)若a3,求ABC周长的取值范围解析(1)由b2c2a2abcosBb2cosA得2bccosAabcosBb2cosA,所以2ccosAacosBbcosA,由正弦定理,得2sinCcosAsinAcosBsinBcosAsin(AB)sinC,又C(0,),所以sinC0,所以cosA,因为A,所以A.(4分)(2)在ABC中,由正弦
2、定理得2,b2sinB,c2sinC2sin,(6分)设ABC周长为y,则yabc2sinB2sin3,化简得y2sinB236sin3.(8分)由(9分)Bsiny(33,9ABC周长的取值范围为(33,9(12分)18(本小题12分)近年来,双十一购物狂欢节(简称“双11”)活动已成为中国电子商务行业年度盛事,某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略,调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购的时间T(单位:小时),发现T近似服从正态分布N(2,0.49)(1)求P(T1.3)的估计值;(2)该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10 000名网购客户,这10 0
3、00名客户在2017年“双11”活动期间,用于网购时间T属于区间(2,3.4)的客户数为X.该商家计划在2018年“双11”活动前对这X名客户发送广告,所发广告的费用为每位客户0.05元求该商家所发广告总费用的平均估计值;求使P(Xk)取最大值时的整数k的值附:若随机变量Z服从正态分布ZN(,2),则P(Z)0.6827,P(2Z2)0.9545,P(31.3)P(T)0.8414.(4分)(2)P(2T3.4)P(Tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,F1MF2面积的最大值为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点B作x轴的垂线l1
4、,D为l1上异于点B的一点,以BD为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H,且l2与直线AD相交于点P,试判断|PF1|PH|是否为定值,并说明理由解析(1)由题意可知解得a2,b,所以椭圆C的方程为1.(4分)(2)由(1)可知A(2,0),B(2,0),F2(1,0),因为过F2与圆E相切的直线分别切于B,H两点,所以|F2H|F2B|1,所以|PF1|PH|PF1|PF2|F2H|PF1|PF2|1.(6分)设点E(2,t)(t0),则D(2,2t),圆E的半径为|t|,则直线AD的方程为y(x2),l2的方程设为xky1,则|t|,化简得k.由得所以点P,(9分)
5、因为1,所以点P在椭圆C上,(11分)所以|PF1|PF2|4,即|PF1|PH|413.(12分)21(本小题12分)已知函数f(x),g(x)xb,其中a0,b0.(1)若a1,讨论F(x)f(x)g(x)的单调区间;(2)若b2a1,且x1,x2是(x)xf(x)g(x)的两个极值点,求证:当|x1x2|时,|(x1)(x2)|4ln 2.解析(1)由已知得F(x)f(x)g(x)xb,所以F(x)1.(1分)当01时,因为1x20,ln x0,所以1x2ln x0,即a,得,由a0,解得a2,所以(x)在上递减,在上递增,在(a,)上递减于是(x)在x处取极小值.在xa处取极大值(a)
6、从而|(x1)(x2)|(a)aln(a)a2aln 2,令ta(2,),则h(t)|(x1)(x2)|tlntt2tln 2,(8分)则h(t)2tlntln 21,令G(t)h(t)2tlntln 21,则G(t)2,因为t(2,),所以G(t)20,则G(t)递增,所以G(t)G(2)32ln 20,则h(t)0,所以h(t)递增,于是h(t)h(2)4ln 2,(11分)即|(x1)(x2)|4ln 2.(12分)请在第22,23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)以坐标
7、原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为4sin.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)若直线l与圆C相切,求m的值解析(1)由题意得,直线l的普通方程为2xym0,圆C的直角坐标方程为(x1)2(y)24.(5分)(2)因为直线l与圆C相切,所以2,所以2,所以m22,所以m的值为22.(10分)23(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)|1ax|.(1)当a1时,解不等式f(x)2x1;(2)若f(1)M,f(2)M,求证:M.解析(1)当a1时,不等式f(x)2x1可化为|1x|2x1,当x1时,x12x1,x2,所以x1;当x1时,1x2x1,x0,所以0x1.因此,所求不等式的解集为0,)(5分)(2)由f(1)M,f(2)M,得|1a|M,|12a|M,3M2MM2|1a|12a|22a|12a|22a(12a)|1,当且仅当M|1a|,M|12a|,(22a)(12a)0,即a时,等号成立,故M.(10分)