1、明目标、知重点 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算1复数加法与减法的运算法则(1)设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，则 z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数的乘法法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.3复数乘法的运算律对任意复数 z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z34
2、.共轭复数把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数 zabi 的共轭复数记作 z，即 z abi.5复数的除法法则设 z1abi，z2cdi(cdi0)，则z1z2abicdiacbdc2d2 bcadc2d2 i.情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一 复数加减法的运算思考 1 我们规定复数的加法法则如下：设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答 仍然是个复数，且是一个确定的复数思考 2 复数加
3、法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项思考 3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答 满足，对任意的 z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)证明：设 z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，z2z1(ca)(db)i，显然，z1z2z2z1，同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)思考 4 类比复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答(abi)(cdi)(ac)(bd)i.思考 5 若复数 z1，z2 满足 z1z20，能否认为
4、 z1z2?答 不能，如 2ii0，但 2i 与 i 不能比较大小例 1 计算：(1)(56i)(2i)(34i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式(523)(614)i11i.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练 1 计算：(1)(24i)(34i)；(2)(34i)(2i)(15i)解(1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.探究点二 复数乘除法的运算思考 1 怎样进行
5、复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2 换成1，并且把实部与虚部分别合并即可思考 2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2 换成1.例 2 计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解(1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)212ii22i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平
6、方公式等跟踪训练 2 计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.思考 3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)例 3 计算：(1)(12i)(34i)；(2)1i1i6 2 3i3 2i.解(1)(12i)(34i)12i34i12i34i34i34i510i251525i.(2)原式1i226 2 3i 3 2i 32 22i6 62i3i 651i.反思感悟 复数的除法是分
7、子、分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练 3 计算：(1)7i34i；(2)1i2ii解(1)7i34i 7i34i34i34i2525i251i.(2)1i2ii3ii 3iiii13i.探究点三 共轭复数及其应用思考 1 像 34i 和 34i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数 z 的共轭复数为 z.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数思考 2 复数 abi 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数 abi 的共轭复数可表示为 abi，由于(abi)(a
8、bi)a2b2 R，所以两个共轭复数之积为实数思考 3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即 z z zR，利用这个性质可证明一个复数为实数(3)若 z0 且 z z 0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数思考 4 z z 与|z|2 和|z|2 有什么关系？答 z z|z|2|z|2.例 4 已知复数 z 满足|z|1，且(34i)z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 z.解 设 zabi(a，bR)，则 z abi 且|z|a2b21，即 a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)
9、(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z 是纯虚数，所以 3a4b0，且 3b4a0.由联立，解得a45，b35，或a45，b35.所以 z 4535i，或 z 4535i.反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪训练 4 已知复数 z 满足：z z 2iz86i，求复数 z 的实部与虚部的和解 设 zabi(a，bR)，则 z z a2b2，a2b22i(abi)86i，即 a2b22b2ai86i，a2b22b82a6，解得a3b1，ab4，复数 z 的实部与虚部的和是 4.1复数 z1212i，z2122i，则 z1z2_.答案 5252i解析 z
10、1z2(212)(122)i5252i.2若 z32i4i，则 z_.答案 13i解析 z4i(32i)13i.3复数 z i212i_.答案 i解析 i212i i212i12i12i5i5i.4已知复数 z1ai(aR，i 是虚数单位)，zz 3545i，则 a_.答案 2解析 由题意可知：1ai1ai1ai21ai1ai12aia21a21a21a2 2a1a2i3545i，因此1a21a235，化简得 5a253a23，a24，则 a2，由 2a1a245可知 a0，仅有 a2 满足，故 a2.呈重点、现规律1复数的四则运算(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换
11、律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.一、基础过关1如果一个复数与它的模的和为 5 3i，那么这个复数是_答案 115 3i解析 设这个复数为 xyi(x，yR)，xyi x2y25 3i，x x2y25y 3，x115y 3，xyi115 3i.2已知 z 是纯虚数，z21i是实数，那么 z_.答案
12、2i解析 设 zbi(bR，b0)，则z21ibi21i bi21i1i1i2bb2i22b2 b22 i 是实数，所以 b20，b2，所以 z2i.3.5i1i的值为_答案 23i486i 的平方根是_答案(3i)解析 方法一 设 86i 的平方根是 xyi(x、yR)，则(xyi)286i，即 x2y22xyi86i.由复数相等，得x2y28，2xy6.x3，y1或x3，y1.方法二 86i96ii2(3i)2，86i 的平方根是(3i)5已知复数 z12i，z21i，则复数 z1z2 的虚部是_答案 1解析 z1z2(2i)(1i)3i，故虚部为1.6计算：(1)(7i5)(98i)(3
13、2i)；(2)(1312i)(2i)(4332i)；(3)22i121 3i92 3i10012 3i100.解(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)(1312i)(2i)(4332i)1312i2i4332i(13243)(12132)i1i.(3)22i121 3i92 3i10012 3i1002121i122912 32 i 9i2 3100ii2 31002122i62912 32 i 3 3i2 3100i100i2 31002326i613 1i100291511.7.设 mR，复数 z1m2mm2(m15)i，z22m(m3)i
14、，若 z1z2 是虚数，求 m 的取值范围解 z1m2mm2(m15)i，z22m(m3)i，z1z2m2mm2 2(m15)m(m3)im2m4m2(m22m15)i.z1z2 为虚数，m22m150 且 m2，解得 m5，m3 且 m2(mR)二、能力提升8复数2i1 3i的虚部是_答案 12解析 原式2i1 3i132 32i4 32 12i，虚部为12.9设复数 z 满足(1i)z2i，则 z_.答案 1i解析 由已知得 z 2i1i2i1i1i1i1i.10若复数 z 满足 z(1i)1i(i 是虚数单位)，则其共轭复数 z _.答案 i解析 z1i1i1i21i1i2i2 i，则
15、z i.11已知虚数 z 满足|z|1，z22z1z0，求 z.解 设 zxyi(x，yR 且 y0)，所以 x2y21，则 z22z1z(xyi)22(xyi)1xyi(x2y23x)y(2x1)i.因为 z22z1z0 且 y0，所以2x10，x2y23x0，又 x2y21，解得x12，y 32，故 z12 32 i.12已知复数 z，满足 z2512i，求1z.解 设 zxyi(x，yR)，则 z2x2y22xyi.又 z2512i，所以 x2y22xyi512i.所以x2y25，2xy12.解得x3，y2 或x3，y2.所以 z32i 或 z32i.所以1z132i 313 213i 或1z132i 313 213i.1z 313 213i 或1z 313 213i.三、探究与拓展13.已知 1i 是方程 x2bxc0 的一个根(b、c 为实数)(1)求 b，c 的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？解(1)因为 1i 是方程 x2bxc0 的根，(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.bc02b0，得b2c2.b、c 的值为 b2，c2.(2)方程为 x22x20.把 1i 代入方程左边得(1i)22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根
