1、北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷 （理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解【详解】集合AxN|1x31，2，3，B2，3，4，5，AB1，2，3，4，5故选：D【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】由
2、（1i）z2i，得z，|z|故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S12，n1执行循环体，S10，n2不满足条件S+n0，执行循环体，S6，n3不满足条件S+n0，执行循环体，S0，n4不满足条件S+n0，执行循环体，S8，n5满足条件S+n0，退出循环，输出S的值为8故选：A【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注
3、意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y0可得：x24x0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D
4、4，E4，F0，即圆M的方程为x2+y24x4y0，令y0可得：x24x0，解可得：x10，x24，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移（0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可【详解】将函数ysin2x的图象向右平移（0）个单位长度，可得ysin2（x）sin（2x2），图象过点，sin（2），即22k，或2k，kZ，即
5、或，kZ，0，的最小值为故选：B【点睛】本题主要考查了函数yAsin（x+）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由“x0”易得“”，反过来，由“”可得出“x0”，从而得出“x0”是“”的充分必要条件【详解】若x0，x0，则：；“x0“是“的充分条件；若，则；解得x0；“x0“是“的必要条件；综上得，“x0”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是
6、的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得a1且aex+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出【详解】loga（ex+3）1logaa，a1且aex+3对任意实数x都成立，又ex+33，1a3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个
7、小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的 ，（正三角形中心到对边的距离等于高的 ），因此对角线为 ，所以a3，故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把
8、答案填在答题卡上9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，则_.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题【详解】根据题意得，26，3 又7，2d734，d2，1，S555+2025，故答案为：25【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则_.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，2），71+0
9、47故答案为：7【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_ 【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB侧面ACB，AB4，POOC2，由此即可得到结果【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB侧面ACB，AB4，POOC2侧面PAC与PBC为全等的等边三角形则该三棱锥的体积为V故答案为：【点睛】本题
10、考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则_.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角，由|AF|4|BF|，可解出cos的值，进而得出sin的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|AB|sin可计算出答案【详解】设直线AB的倾斜角为，并设为锐角，由于|AF|4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，故答案为：5【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题13.2018年国际象
11、棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着32格或23格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内. 若骑士限制在图（二）中的34=12格内按规则移动，存在唯一一种给方
12、格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为_.【答案】 (1). 能 (2). 【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属
13、于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，
14、结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长.【详解】解：（1）由，所以.由正弦定理得，即. （2）在中，.由余弦定理得，,所以 .所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：销售点序号所属城市小麦价格（元/吨）销售点序号所属城市小麦价格（元/吨）1A242010B25002C258011A24603C247012A24604C254013A25005A243014B25006C240015B24507A244016B24608B250017A24609A244018A2540
15、（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，
16、2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500. C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.， ，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量
17、取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面； （2）当侧面是正方形，且时， （）求二面角的大小；（）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（）（）
18、点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在中，因为分别是中点， 所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形. 所以.又因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，.（）设平面的一个法向量为.由得即令，
19、所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量. 所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（）假设在线段上存在点，使得. 设，则.因为 ，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题18.已知函数.（）当时，求函数的极小值；（）当时，讨论的单调性；（）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（）（）详见解析（）【解析】【分析】（）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解
20、函数的极值；（）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（）当时：，令解得，又因为当，函数为减函数；当，函数为增函数.所以，的极小值为.（）.当时，由，得或.()若，则.故在上单调递增；（）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.()若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（）（1）当时，令，得.因为当时，当时，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（）当时，由（）可知在上单调递增，且，此时在区间上有且只有一个零点.（）当时，由（）的
21、单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，在区间上有且只有一个零点；当时，函数在区间上无零点.()当时，由（）的单调性结合，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中 ，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重
22、合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（）求点坐标和直线的方程；（）求证：.【答案】（），的方程为（）详见解析【解析】【分析】（）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（）设，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得. 把，代入到中，=
23、.即，即.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：是的倍数；.（1）若，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取. （2）由，对于任意的，有.当时，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，. （3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式： ，.则, ,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.
