1、三等差数列的概念 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B的度数为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.因为A,B,C的度数成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180,所以3B=180,所以B=60.【加练固】已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9【解析】选B.由题意2n+m=8,2m+n=10,两式相加得3m+3n=18,m+n=6,所以m和n的等差中项是3.2.在等差数列an中,
2、已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=()A.50B.49C.48D.47【解析】选A.设等差数列an的公差为d,因为a1=,a4+a5=,所以2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)=,则ak=33,解得k=50.3.(多选题)下列命题中正确的个数是()A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则,可能成等差数列【解析】选BCD.对于A,取a=1,b=2,c=3a2=1,b2=4,c2=9,A错.对于B,
3、取a=b=c2a=2b=2c,B正确;对于C,因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),C正确;对于D,取a=b=c0=,D正确.4.数列an是首项为2,公差为3的等差数列,数列bn是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.an=2+(n-1)3=3n-1,bn=-2+(n-1)4=4n-6,令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020南京高二检测)若等差数列an满足a2+a6=16,则a9+a3-a8=_.【解析】设
4、等差数列an的公差为d,因为a2+a6=16=2(a1+3d),所以a1+3d=8,则a9+a3-a8=a1+3d=8.答案:86.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为_.【解析】因为a+(3-a)=2(2a-1),所以a=.所以这个等差数列的前三项依次为,.所以d=,an=+(n-1)=+1.答案:an=n+1三、解答题(每小题10分,共20分)7.在等差数列an中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之间共有多少项?【解析】由题意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.令4
5、50an600,解得85.5n123,又因为n为正整数,故有38项.8.已知数列an满足a1=1,=,an0,求an.【解题指南】由已知条件,引入数列,并证明是等差数列,再求an.【解析】因为=,所以=2+,-=2.所以数列是以=1为首项,2为公差的等差数列,所以=1+(n-1)2=2n-1.又an0,所以an=(nN+).(15分钟30分)1.(5分)设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a=b=0【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=,所以=,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.2.
6、(5分)等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是()A.dB.dC.dD.d【解析】选D.由题意所以所以d.【加练固】已知在等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,则公差为()A.-3B.3C.4D.-4【解析】选A.因为等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,所以a1=20,且a7=a1+6d0,a8=a1+7d0,所以20+6d0,且20+7d0,解得-d-,又d为整数,所以d=-3.3.(5分)正项数列an满足:a1=1,a2=2,2=+(nN*,n2),则an=_,a7=_.【解析】因为2=+(nN*,n2),所以数列
7、是以=1为首项,以d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以 =1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n1.所以a7=.答案:4.(5分)(2020徐州高二检测)若数列an是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,则的值为_.【解析】数列an是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,所以2ln(a1+d)=ln a1+ln(a1+4d),所以(a1+d)2=a1(a1+4d),所以+2a1d+d2=+4a1d,解得d=2a1,所以=3.答案:35.(10分)已知等差数列an中,a2=4,a6=16.(1)证明:数列是公差为-2的等差数列;
8、(2)若在数列an每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,求新数列的第41项.【解析】(1)设数列an的公差为d,因为a2=4,a6=16,所以4d=a6-a2=12,得d=3,所以an=a2+(n-2)d=3n-2,设bn=an-3n,则bn=-2n-,所以bn+1-bn=-2,即数列是公差为-2的等差数列.(2)由(1)得a1=4-3=1,设新数列为cn,其公差为d1,则c1=1,c5=4,所以4d1=3,得d1=,所以c41=1+(41-1)=31.1.(2020西安高二检测)数列an是等差数列,a1=1,公差d1,2,且a4+a10+ a16=15,则实数的最大值为_.【解析】因为a1=1,a4+a10+a16=15,所以2+18d+(1+9d)=15,解得:d=,-2.因为公差d1,2,所以12,解得:-.则实数的最大值为-.答案:-2.在数列an中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=.(1)证明:数列bn是等差数列.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得=+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,所以数列bn为等差数列,公差为1.(2)因为bn的首项b1=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,所以=n,所以an=n2n-1,nN+.
