1、考点规范练57不等式选讲基础巩固1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)3;(2)若xR,使得f(x)2成立,求实数a的取值范围.解:(1)若a=-1,f(x)3,即为|x-1|+|x+1|3,当x-1时,1-x-x-13,即有x-32;当-1x1时,1-x+x+1=23不成立;当x1时,x-1+x+1=2x3,解得x32.综上可得,f(x)3的解集为-,-3232,+;(2)xR,使得f(x)f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a)0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|2,即-2a-1
2、2,解得-1a3.则实数a的取值范围为(-1,3).2.已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集为xx32或x112.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即|a-1|2时,f(x)4.所以当a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范围是(-,-13,+).3.已知f(x)=3x+1a+3|x-a
3、|.(1)若a=1,求f(x)8的解集;(2)对任意a(0,+),任意xR,f(x)m恒成立,求实数m的最大值.解:(1)当a=1时,由f(x)8得|3x+1|+3|x-1|8,当x-13时,-(3x+1)-3(x-1)8,x-1,x-1;当-13x1时,3x+1-3(x-1)8,无解;当x1时,3x+1+3(x-1)8,x53.综上所述,f(x)8的解集为(-,-153,+.(2)f(x)=3x+1a+3|x-a|3x+1a-(3x-3a)=1a+3a23m.当且仅当1a=3a,即a=33时,等号成立,故m的最大值为23.4.设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)
4、2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3或a-1.答案:(1)解由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+
5、(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.5.已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值;(2)若a,b,c都大于0,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.答案:(1)解f(x+2)=m-|x|,f(x+2)0等价于|x|m.由|x|m有解,得m0,
6、且其解集为x|-mxm.又f(x+2)0的解集为-1,1,故m=1.(2)证明由(1)知1a+12b+13c=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13ca1a+2b12b+3c13c2=9,当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c9.能力提升6.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=x-1,x0.则不等式f(x)-6等价于x0,1-x-6,解得x-5或x7.故不等式
7、f(x)-6的解集为x|x-5或x7.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,ABC的面积为1243=6.f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a-2.ABC的面积是6,梯形ABED的面积不小于8.AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,12(4-2a)(-2-a)14-6=8,即a212.又a-2,a-23.故实数a的取值范围是(-,-23.7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)-2;(2)对任意xa,+),都有f(x)x-a成立,求实数a的取
8、值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|-2.当x-2时,x-4-2,即x2,故x;当-2x1时,3x-2,即x-23,故-23x1;当x1时,-x+4-2,即x6,故1x6;综上,不等式f(x)-2的解集为x-23x6.(2)f(x)=x-4,x-2,3x,-2x5;(2)若f(x)a|x+3|,求a的最小值.解:(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x1.由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,得f(x)5的解集为xx2.(2)由f(x)a|x+3|得a|x+1|x-1|+|x+3|.由|x-1|+|x+3|2|x+1|得|x+1|x-1|+|x+3|12,即a12(当且仅当x1或x-3时等号成立).故a的最小值为12.
