1、解答题分类特训(十)导数(B)(建议用时：30分钟)(见提升特训P156)1(2019湖北武汉调考)已知函数f(x)a(aR，a为常数)在(0,2)上有两个极值点x1，x2(x1x2)(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1x22(1ln a)解析 (1)由已知可得f(x)，记h(x)ex1ax，x0，则h(x)ex1a.由题意知yh(x)在(0，2)上存在两个零点当a0时，h(x)0，则h(x)在(0,2)上递增，h(x)至多有一个零点，不合题意当a0时，由h(x)0，得x1ln a.()若01ln a0，即a0，h(0)0，从而h(x)在(0,1ln a)和(1ln a,2)上各有一个零
2、点，所以yh(x)在(0,2)上存在两个零点；()若1ln a2，即ae时，h(x)在(0,2)上单调递减，h(x)至多一个零点，舍去；()若1ln a2且h(2)0，即ae时，h(x)在(0，1ln a)上有一个零点，而在(1ln a,2)上没有零点，舍去综上可得，1a，即实数a的取值范围为.(2)证明：令H(x)h(x)h(22ln ax)，0x1ln a，则H(x)h(x)h(22ln ax)ex1ae22ln ax1aex12a2a2a0，所以H(x)在(0,1ln a)上单调递增，从而H(x)H(1ln a)0，即h(x)h(22ln ax)0，所以h(x1)h(22ln ax1)0
3、，而h(x1)h(x2)，且h(x)在(1ln a,2)上单调递增，所以h(x2)h(22ln ax1)x222ln ax1，所以x1x22(1ln a)2(2019江西景德镇质检)函数f(x)aexx2(2ab)x.(1)若a2，f(x)在R上单调递增，求b的最大值；(2)若b2ln 2，存在x0(0，ln 2)，使得对任意x(0，ln 2)，都有f(x)f(x0)恒成立，求a的取值范围解析 (1)当a2时，f(x)2exx2(4b)x.因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)2ex2x(4b)0对任意xR恒成立因为f (x)2ex2，当x (，0)时，f (x)0，所以f(x)在(，0)上
4、单调递减，在(0，)上单调递增，所以当x0时，f(x)最小，所以f(0)2b0，即b2，所以b的最大值为2.(2)当b2ln 2时，依题意，f(x)aexx2(2a2ln 2)x在(0，ln 2)上有最大值点，f(x)aex2x(2a2ln 2)，且f(0)a2ln 2，f(ln 2)0.当a0时，f (x)aex2x(2a2ln 2)在R上单调递减，所以在(0，ln 2)上，f (x)f(ln 2)0，所以f(x)在(0，ln 2)上递增，不合题意当a0时，f (x)aex2在R上单调递增，且f0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增()当0a1时，ln ln 2，即f(x)在(0，ln
5、2)上单调递减，所以f(x)f(ln 2)0，即f(x)在(0，ln 2)上单调递增，不合题意；()当1a2ln 2时，ln 0，f(x)单调递增，在(t，ln 2)上，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)在xt处取得最大值，符合题意，t即为所求的x0；()当2ln 2a2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f(0)a2ln 20，f(ln 2)0，所以在(0，ln 2)上，f(x)0，所以f(x)单调递减，不合题意；()当a2时，ln 0，所以f(x)在(0，ln 2)上单调递增，又因为f(ln 2)0，所以在(0，ln 2)上，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意综上所述，当且仅当1a2ln 2时，存在满足题意的x0，故a的取值范围为(1,2ln 2)
