1、2016艺体生文化课-百日突围系列专题二 常用逻辑用语命题及其关系【背一背基础知识】一命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题二四种命题及其关系1四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命
2、题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题.2四种命题间的逆否关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系【讲一讲基本技能】必备技能：1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.注意：在写其他三种命题时，大前
3、提必须放在前面.2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法典型例题例1命题“若，则”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数
4、是（ ）A分析：由不等式的性质，可得命题的四种形式的真假.【答案】例2下列命题正确的个数是（ ）“在三角形ABC中，若,则”的逆命题是真命题；命题或，命题则是的必要不充分条件；“”的否定是“”； 若，则的逆否命题为真命题；回归分析中，回归方程可以是非线性方程.A.1 B.2 C.3 D.4分析：本小题关键是考查原命题与逆命题的真假关系，说明假命题可以列举一些特殊值. 【答案】C【练一练趁热打铁】1. 在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那
5、么f(p)_【答案】2 2. 设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是( )（A）若方程有实根，则(B) 若方程有实根，则(C) 若方程没有实根，则(D) 若方程没有实根，则【答案】【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选.【考点定位】命题的四种形式.【名师点睛】本题考查命题的四种形式，解答本题的关键，是明确命题的四种形式，正确理解“否定”的内容.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造.充分条件和必要条件【背一背基础知识】一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件.可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq,而qp；(2)必要不充分条
6、件，即pq,而qp；(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp；(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp.一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq.“”叫做等价符号.pq表示pq且qp.这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件.一个等价关系：互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断.【讲一讲基本技能】充要关系的几种判断方法：(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是
7、否定形式的命题，一般运用等价法(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，MN等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【特别提醒】1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前
8、者是“”而后者是“”2从逆否命题谈等价转换：由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”3充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验2.典型例题例1设，是两个集合，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，反之，故为充要条件，选C.【考点定位
9、】1.集合的关系；2.充分必要条件. 【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系.例2设，则是成立的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】1.指数运算；2.充要条件的概念.【名师点睛】对于指对数运算问题，需要记住常见的等式关系，如，进而转化成同底的问题进行计算；充要关系的判断问题，可以分为由“”推证“”以及由“”推证“”.【练一练趁热
10、打铁】1. 设为向量.则是的（ ）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也必要条件 【答案】【解析】设向量的夹角为，若，则，若，则，从而，是的充要条件2. 设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A逻辑联结词【背一背基础知识】1用联结词“且”联结命题p和命题q，记作，读作“p且q”2用联结词“或”联结命题p和命题q，记作，读作“p或q”3对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”4命题p且q、p或q、非p的真假判断【
11、讲一讲基本技能】1逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2“pq”“pq”“p”形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题p、q的真假；（3）确定“pq”“pq”“p”形式命题的真假3含逻辑联结词命题真假的等价关系（1）pq真p,q至少一个真(p)(q)假.（2）pq假p,q均假(p)(q)真.（3）pq真p,q均真(p)(q)假.（4）pq假p,q至少一个假(p)(q)真.（5）p真p假; p假p真.4命题p且q、p或q、非p的真假
12、判断规律：pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假典型例题例1设命题：，则为( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】:，故选C.【考点定位】本题主要考查特称命题的否定【名师点睛】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.例2已知命题，命题，则 （ ） A.命题是假命题 B.命题是真命题 C.命题是真命题 D.命题是假命题分析：先判断出，的真假，从而可得答案.【答案】C【解析】对于命题，取，则有，即，故命题为真命题；对于命题，
13、取，则，此时，故命题为假命题，因此命题是真命题，命题是假命题，命题是真命题，命题是真命题，故选C.【练一练趁热打铁】1. 在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”， 命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（ ）（A）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米（B）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米（C）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米（D）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米【答案】D 2. “p或q”为真命题是“p且q”为真命题的_条件【答案】必要不充分【解析】若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题若命题“p且q”为真命题，则p、q
14、都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件全称量词和存在量词【背一背基础知识】1全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题（3）全称命题“对M中任意一个x，有成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有成立”2存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题（3）特称命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为，读作“存在中的元素，使成立”3全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题4“
15、或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”5含有一个量词的命题的否定命题命题的否定【讲一讲基本技能】1全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值xx0，使p(x0)不成立即可2特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.4. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称真假判断方法
16、一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真5命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系6弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提7注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定8要判断“p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与p的真假相反
17、9常见词语的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xA使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在x0A使p(x0)假2.典型例题例1. 命题“，”的否定是（ ）A， B，C， D，【答案】.【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，故应选.【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，属识记基础题.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.例2若“”是真命题，则实数的最小值为 .【答案】1【考
18、点定位】1、命题；2、正切函数的性质.【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题.【练一练趁热打铁】1. 下列命题中是假命题的是（ ）A BC D【答案】B【解析】由任意角的三角函数可知，所以是真命题；由指数函数的性质，是真命题；由知，是真命题；事实上，由，是假命题.故选B. 2. 下列命题中的假命题是()A，有是等差数列 BC D【答案】B【解析】对于A，an1ana(n1)b(anb)a常数A正确；对于B，B不正确；对于C，易知3x0，因此C正确；对于D，注意到，因此D正确
19、故选B.（一） 选择题（12*5=60分）1. 设、，则“、均为实数”是“是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.【名师点睛】判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题2. 命题“，”的否定是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】因为全称命题
20、的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“， ”，故选D.3. 命题“存在，”的否定是（ ）A不存在， B存在，C对任意的， D对任意的，【答案】C 【解析】试题分析：存在性命题的否定是全称命题，全称命题的否定是存在性命题.命题“存在，”的否定是对任意的，故选C.4. 下列四个命题，其中为真命题的是( )A命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”B若命题所有幂函数的图像不过第四象限，命题所有抛物线的离心率为，则命题“且 ”为真C若命题则 D若，则【答案】 5. 已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】对命题，令，则，故命题为假命题；对于命题，令，
21、则函数的图象在上连续，由于，由零点存在定知，存在，使得，所以命题为真命题，因此复合命题为真命题，故选C.6. 设p：x3，q：-1x1”是“1”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题易知“1”可以推得“1”， “1”不一定得到“1”，所以“1”是“1”的充分不必要条件，故选A.【考点定位】充要关系【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
22、原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，那么：若AB，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；若AB且BA，即AB时，则p是q的充要条件(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件10. 已知命题：关于的函数在上是增函数，命题：函数 为减函数，若为真命题，则实数的取值范围是 ( ) A B. C D. 【答案】C 11. 已知命题p：，命题q：.若pq为假命题，则实数m的取值范围为
23、()Am2 Bm2Cm2或m2 D2m2【答案】A【解析】若pq为假命题，则p、q均为假命题，则p：与q：均为真命题根据p：为真命题可得m0，根据q：为真命题可得，解得m2或m2.综上，m2.12. 已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”则下列命题正确的是（ ）A命题“”是真命题 B命题“（）”是真命题C命题“（）”是真命题 D命题“（）（）”是真命题【答案】B【解析】有已知条件可知，命题是假命题，命题是真命题，根据命题的真假值表，可得命题“”是真命题，故选B.（二） 填空题（4*5=20分）13. 已知命题:“”,命题：“”,若命题为真命题,则实数的取值范围是.【答案】 14. 若命题
24、p：关于x的不等式axb0的解集是x|x，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，则在命题“pq”、“pq”、“p”、“q”中，是真命题的有_【答案】p、q【解析】依题意可知命题p和q都是假命题，所以“pq”为假、“pq”为假、“p”为真、“q”为真15. 已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是_.【答案】 【解析】为真命题 是真命题, 是真命题, 是真命题, 是真命题 所以为真命题16. 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 .函数的图象关于点成中心对称；对若，则；若实数满足则的最大值为；若为钝角三角形，则【答案】【解析】由函数可得.所以函数关于点成中心对称成立.所以正确.由的逆否命题是若且，则.显然命题成立.所以正确.由图可知正确.显然不正确，如果A,B都是锐角则大小没办法定.所以不正确.故填.