1、第一部分专题5 第2讲题型对应题号1.椭圆及其性质1,6,7,9,11,132.双曲线及其性质2,3,53.抛物线及其性质4,8,10,12 基础热身(建议用时：40分钟) 1(2019甘青宁三省联考)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A B C DB解析 由题图可知2b16.4,2a20.5，则，则离心率e.故选B项2(2019广东东莞模拟)双曲线y21的焦点到渐近线的距离为()A1 B C2 D3A解析 双曲线中，焦点坐标为(，0)，渐近线方程为yx，即2yx0，所以双曲线y21的焦点到渐近线的距离d1.故选A项3(2019四川绵阳期末)若双曲线C1：1
2、与双曲线C2：1(a0，b0)有公共点，则双曲线C2离心率的取值范围是()A B C DC解析 由1得C1的渐近线方程为yx，由1得C2的渐近线方程为yx，因为双曲线C1：1与双曲线C2：1(a0，b0)有公共点，所以只需，即，即，即，解得e.故选C项4(2019河北邯郸模拟)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A m B m C m D mD解析 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，结合题意可知，该抛物线x22py(p0)经过点(6，5
3、)，则3610p，解得p，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p.故选D项5(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A B C DD解析 由c2a2b24得c2，所以F(2,0)，将x2代入x21，得y3，所以|PF|3.又A的坐标是(1,3)，故APF的面积为3(21).故选D项6(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析 由已知可得a236，b220，所以c2a2b216，所以c4，因为M为C上一点且在第一象限，所以|MF
4、1|F1F2|2c8，所以|MF2|2a|MF1|1284.设点M的坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则SMF1F2|F1F2|y04y0，又SMF1F2|MF2|44，所以4y04，解得y0，所以1，解得x03(x03舍去)，所以M的坐标为.答案 7(2019浙江卷)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_解析 设线段PF的中点为M，F1为椭圆的右焦点，由题意可知|OF|OM|c2，由中位线定理可得|PF1|2|OM|4，由椭圆的焦半径公式可得|PF1|aexP3xP4xP，从而可求得P，所以kPF
5、.答案 8(2019陕西汉中联考)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点P(x0,3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过A(a,0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，切点为N.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：以FN为直径的圆过点A解析 (1)由题知|PF|yp，所以43，解得p2，所以抛物线C的标准方程为x24y.(2)证明：设切线AN的方程为yk(xa)，k0，联立消去y可得x24kx4ka0，由题意得16k216ka0，即ak，所以切点N(2a，a2)，又F(0,1)，所以(a,1)(a，a2)0.所以FAN90，故以FN为直径的圆过点A9(2019广东江门模
6、拟)在直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(1,0)(1)求椭圆的标准方程；(2)点B是椭圆与y轴负半轴的交点，经过F的直线 l与椭圆交于点M，N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若|MN|AB|，求直线l的方程解析 (1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意知，c1，e，所以a，b2a2c21，所以所求椭圆的标准方程为y21.(2)因为|MN|AB|AB|，所以MN与x轴不垂直，设直线l的方程为yk(x1)，由得(2k21)x24k2x2k220，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|x1x2|，依题意知点B(0，1)，kABk，所
7、以直线AB的方程为ykx1，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，同理可得|x3x4|.因为|MN|AB|，所以|x1x2|x3x4|，从而|4k|，即k，所以直线l的方程为y(x1) 能力提升(建议用时：25分钟) 10(2019天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A B C2 DD解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x1，所以|OF|1，又双曲线的渐近线方程为yx，不妨设A，B，所以|AB|4|OF|4，所以b2a，所以e.故选D项11(201
8、9四川绵阳期末)已知离心率为的椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，点M为PF1F2的内心，且MPF1，MPF2，MF1F2的面积分别为SMPF1，SMPF2，SMF1F2，若SMPF13SMPF22SMF1F2，则的值为_解析 由题意可知离心率e，所以，所以设a3m，则c2m.因为点M为PF1F2的内心，所以设PF1F2内接圆M的半径为r，由SMPF13SMPF22SMF1F2得PF1r3PF2r2F1F2r，化简得PF13PF22F1F2，设PF2n，则PF12an，所以2an3n4c，即n2ca，所以PF22ca，PF13a2c，所以5.答案 512(2019
9、四川绵阳期末)设M，N为抛物线C：y22px(p0)上的两点，M与N连线的中点的纵坐标为4，直线MN的斜率为.(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P(1,2)，A，B为抛物线C(除原点外)上不同的两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且满足2，记抛物线C在A，B处的切线交于点S(xS，yS)，若点A，B连线的中点的纵坐标为8，求点S的坐标解析 (1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)因为M，N都在抛物线C上，所以y2px1，y2px2.由两式相减得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，两边同除以x1x2，得(y1y2)2p，由已知得y1y28，所以82p，即p2.所以抛物线C的方程
10、为y24x.(2)设A，B，S(xS，yS)因为，所以2，所以y3y48，因为线段AB的中点的纵坐标为8，所以y3y416，联立解得y312，y44，所以A(36,12)，B(4,4)设直线SA的斜率为k，则直线SA的方程为y12k(x36)，由消去x得y1236k0.由0得(6k1)20，即k.所以直线SA的方程为y12(x36)，同理得直线SB的方程为y4(x4)联立方程解得所以点S的坐标为(12,8)13(2019河南十校联考)椭圆1(ab0)的离心率为且四个顶点构成面积为2的菱形(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A(1,0)且斜率不为0的直线l与椭圆交于M，N两点，记MN中点为B，坐标
11、原点为O，直线BO交椭圆于P，Q两点，当四边形MPNQ的面积为时，求直线l的方程解析 (1)设椭圆的焦距为2c，则，又a2b2c2，所以bc.因为4bb2，所以b1，a，故所求椭圆的标准方程为y21.(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线MN的方程为xmy1，与椭圆方程联立得(m22)y22my10，所以设点B坐标为(xB，yB)，则有yB，xBmyB1，因此kOB.所以直线OB的方程为yx，与椭圆方程联立得(m22)x24，解得所以弦长|PQ|22.不妨设点M在直线OB：yx上方，点N在直线OB：yx下方，即x1y10，x2y20.所以点M(x1，y1)到直线PQ的距离为d1，点N(x2，y2)到直线PQ的距离为d2.所以d1d22.所以面积S|PQ|(d1d2)222m2.因此直线l的方程为x2y10或x2y10.
