1、空间向量及其在立体几何中的应用应用篇【应用集训】1.(多选题)(2020山东滨州模拟,10)已知菱形ABCD中,BAD=60,AC与BD相交于点O,将ABD沿BD折起,使顶点A至点M,在折起的过程中,下列结论正确的是()A.BDCMB.存在一个位置,使CDM为等边三角形C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60答案ABD2.(2020河北衡水中学七调,11)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是对角线AC1上的点(点M与A、C1不重合),则下列结论正确的个数为()存在点M,使得平面A1DM平面BC1D;存在点M,使得DM平面B1CD1;若A1DM的面
2、积为S,则S233,23;若S1、S2分别是A1DM在平面A1B1C1D1与平面BB1C1C的正投影的面积,则存在点M,使得S1=S2.A.1B.2C.3D.4答案C3.(2020湖北襄阳优质高中联考,18)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,PA=AB=2,ABC=60,E为棱BC的中点,F为棱PC的动点.(1)求证:AE平面PAD;(2)若锐二面角E-AF-C的正弦值为105,求点F的位置.4.(2019安徽六安一中4月月考,18)如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起
3、到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.5.(2019北京怀柔一模文,18)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,PAAC,ABBC,D,E分别为PA,AC的中点.(1)求证:DE平面PBC;(2)求证:BC平面PAB;(3)在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.教师专用题组【应用集训】1.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A
4、1ACC1底面ABC,A1AC=60.(1)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;(2)已知点D满足BD=BA+BC,在直线AA1上是否存在点P,使DP平面AB1C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)侧面A1ACC1底面ABC,作A1OAC于点O,连接BO,A1O平面ABC.又A1AC=60,且各棱长都相等,AO=1,OA1=OB=3,BOAC.故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B1(3,1,3),A1(0,0,3),C(0,1,0),AA1=(0,1,3),AB1=(3,2,3),AC=(0,2,0).设平面AB
5、1C的法向量为n=(x,y,z),则nAB1=3x+2y+3z=0,nAC=2y=0,取z=1,得n=(-1,0,1).设侧棱AA1与平面AB1C所成的角为,则sin=|cos|=AA1n|AA1|n|=322=64,侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为64.(2)点B的坐标为(3,0,0),BA=(-3,-1,0),BC=(-3,1,0),BD=BA+BC,BD=(-23,0,0),点D的坐标为(-3,0,0).假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y1,z1),DP=(3,y1,z1).DP平面AB1C,且n=(-1,0,1)为平面AB1C的一个法向量,-3+z1=0,即z1
6、=3.易知AP与AA1共线,故设AP=AA1,y1+1=,3=3,y1=0.又DP平面AB1C,故存在点P,使DP平面AB1C,其坐标为(0,0,3),即恰好为A1点.2.(2018青海西宁湟中一中月考,18)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且BC=BB1=2,A1AB=A1AD=60.(1)求证:BDCC1;(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为714.解析(1)证明:连接A1B,A1D,AC,因为AB=AA1=AD,A1AB=A1AD=60,所以A1AB和A1AD均为正三角形,于是A1B=A1D.设AC与BD的
7、交点为O,连接A1O,则A1OBD,又四边形ABCD是正方形,所以ACBD,而A1OAC=O,所以BD平面A1AC.又AA1平面A1AC,所以BDAA1,又CC1AA1,所以BDCC1.(2)由A1B=A1D=2,及BD=2AB=2,知A1BA1D,于是AO=A1O=12BD=22AA1,从而A1OAO,结合A1OBD,AOBD=O,得A1O底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直,如图,以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1),C(-1,0,0),DB=(0,2,0),BB1=AA1=(-1,0,1),D
8、1C1=DC=(-1,1,0),由DD1=AA1=(-1,0,1),得D1(-1,-1,1).设D1E=D1C1(0,1),易知E(-1,-1,1),所以DE=(-1,1).设平面B1BD的法向量n=(x,y,z),由nDB=0,nBB1=0,得y=0,-x+z=0.令x=1,得n=(1,0,1),设直线DE与平面BDB1所成角为,则sin=|cos|=|1(-1)+0+11|22+(-1-)2+12=714,解得=12或=-13(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为714.3.(2019湖北七市(州)教科研协作体3月联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD
9、中,四边形ABCD为平行四边形,ABAC,PA平面ABCD,且PA=AB=3,AC=2,点E是PD的中点.(1)求证:PB平面AEC;(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M-AC-E的余弦值为1010?若存在,确定M的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:连接BD交AC于点F,连接EF,如图,在PBD中,由已知得EFPB,(2分)又EF平面AEC,PB平面AEC,PB平面AEC.(4分)(2)由题意知,AC,AB,AP两两垂直,如图,以A为坐标原点,以AC,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.则C(2,0,0),D(2,-3,0),P
10、(0,0,3),B(0,3,0),E1,-32,32,设M(x0,y0,z0),PM=PB(01),则(x0,y0,z0-3)=(0,3,-3),得M(0,3,3-3),(6分)设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1AE=0,n1AC=0,AE=1,-32,32,AC=(2,0,0),得x1-32y1+32z1=0,2x1=0,取y1=1,得n1=(0,1,1).设平面MAC的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2AM=0,n2AC=0,AM=(0,3,3-3),AC=(2,0,0),得3y2+(3-3)z2=0,2x2=0,取z2=1,得n2=0,1-1,1.(9分)设
11、二面角M-AC-E的大小为,二面角M-AC-E的余弦值为1010,为锐角,则cos=|n1n2|n1|n2|=2-121-12+1=1010,(10分)化简得92-9+2=0,解得=13或=23.易知=23时,为钝角,=13,PM=13PB.故PM=13PB时,二面角M-AC-E的余弦值为1010.(12分)4.(2020天津北辰第一次诊断测试,17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,四边形ADPQ是梯形,PDQA,PDA=2,平面ADPQ平面ABCD,且AD=PD=2QA=2.(1)求证:QB平面PDC;(2)求二面角C-PB-Q的大小;(3)已知点H在棱PD上,且异面直线AH与
12、PB所成角的余弦值为7315,求线段DH的长.解析本题考查线面平行、二面角,考查立体几何中的探索性问题.平面ADPQ平面ABCD,平面ADPQ平面ABCD=AD,PD平面ADPQ,PDA=2,直线PD平面ABCD.以点D为原点,分别以DA,DC,DP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),Q(2,0,1),P(0,0,2).(1)证明:易知AD=(-2,0,0)是平面PDC的一个法向量,QB=(0,2,-1),QBAD=0,又直线QB平面PDC,QB平面PDC.(2)PB=(2,2,-2),PC=(
13、0,2,-2),设n1=(x1,y1,z1)为平面PBC的法向量,则n1PB=0,n1PC=0,即2x1+2y1-2z1=0,2y1-2z1=0,不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面PBQ的法向量,PB=(2,2,-2),PQ=(2,0,-1),则n2PB=0,n2PQ=0,即2x2+2y2-2z2=0,2x2-z2=0,不妨设z2=2,可得n2=(1,1,2),cos=n1n2|n1|n2|=32,又知二面角C-PB-Q为钝二面角,二面角C-PB-Q的大小为56.(3)设H(0,0,h)(0h2),则AH=(-2,0,h),PB=(2,2,-2),|c
14、os|=7315,即|-4-2h|234+h2=7315,6h2-25h+24=0,解得h=32或h=83(舍去).故线段DH的长为32.创新篇【创新集训】1.(多选题)(2020山东青岛三模)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1上运动,则下列命题中正确的是()A.若点P总满足PABD1,则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到点A的距离为2,则动点P的轨迹是一个周长为2的圆C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆D.若点P到直线AD与到直线CC1的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线答案ABD2.(2020湖北荆州中学、宜昌一
15、中、龙泉中学三校联盟联考,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,下列命题正确的个数是()若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为52;若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为6+22;若P在半圆弧CD上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2;若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为334.A.1B.2C.3D.4答案C3.(2020湖南湘东六校联考,19)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.(1)证明:直线BC平面OEF;(2)在线段DF上是否存在一点M,使得二面角M-OE-D的余弦值是31313?若不存在,请说明理由;若存在,请求出M点所在的位置.
