1、小题狂练（28）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，求出，由此能求出【详解】集合，1，故选：【点睛】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题2. 若实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的单调性可知，并且、都大于0，A选项不成立；当、都是负数的时候，绝对值符号是相反的，可判断B错误；举反例，的时候选项C就不成立了；根据指数函数的单调性可判断选项D中成立【详解】对数函数的底
2、数是在0到1之间，所以是减函数，因此，并且要保证真数，因此不成立；取，显然不成立；当时，式子不成立；指数函数的底数大于1，所以是增函数，即有，因此成立；故选：【点睛】本题考查了不等式的基本性质，结合了对数函数、指数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题3. 设随机变量，若，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据正态分布及可知期望与方差.【详解】因为随机变量，且，所以由对称性知，由正态分布知方差.故选：A【点睛】本题主要考查了正态分布中，的含义，属于容易题.4. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分
3、也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件定义分别进行判断即可.【详解】由题解，解得：，解可得：；则不能推出成立，能推出成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.5. 设，若，则实数，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的性质直接求解【详解】，实数，的大小关系为故选：【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题6. 设、为两个不同的平面，、为两条
4、不同的直线，且，则下列命题中真命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可【详解】由，为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，知：在中，则，满足平面与平面垂直的判定定理，所以正确；在中，若，不能得到，也不能得到，所以得不到，故错误；在中，若，则与可能相交、平行或异面，故不正确；在中，若，则由面面平行的性质定理得，不一定有，也可能异面，故错误故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7. 函数的图象大致为
5、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，排除A，当时，排除C，故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。8. 已知一组数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，的平均数为1，则（ ）A. 2B. 11C. 12D. 14【答案】D【解析】【分析】根据在回归直线上，代入求，再求.【详解】，且在线性回归直线上，则.故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本
6、中心点.9. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积【详解】用一平面去截球所得截面的面积为，则截面圆的半径为1，已知球心到该截面的距离为1，则球的半径为，球的体积为：故选：【点睛】本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是中档题10. 在，四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据条件结合凸凹函数的定义进行判
7、断即可【详解】满足为凸函数，分别作出四个函数在上的图象，由图象知，在四个函数中，只有是凸函数，其余三个为凹函数，故选：【点睛】本题主要考查函数图象的判断，结合凸凹函数的定义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11. 某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2016年相比，2019
8、年一本达线人数有所增加B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】【分析】根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解.【详解】依题意，设2016年高考考生人数为，则2019年高考考生人数为，由，所以A项正确；由，所以B项不正确；由，所以C项不正确；由，所以D项正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了统计图表的识别和应用，其中解答中熟记柱状图表表示的含义是解答的关键，属于基础题.12. 已知空间中两条直线，所成的角为，为空间中给定的一个定点，直线过点且与直线和
9、直线所成的角都是，则下列选项正确的是（ ）A. 当时，满足题意的直线不存在B. 当时，满足题意的直线有且仅有1条C. 当时，满足题意的直线有且仅有2条D. 当时，满足题意的直线有且仅有3条【答案】ABC【解析】【分析】为了讨论：过点与所成的角都是的直线有且仅有几条，先将涉及到的线放置在同一个平面内观察，只须考虑过点与直线所成的角都是的直线有且仅有几条即可，再利用.进行角之间的大小比较即得.【详解】过点作，则相交直线确定一平面.与夹角为或，设直线与均为角，作面于点，于点，于点，记，或，则有.因为，所以.当时，由，得；当时，由，得.故当时，直线不存在；当时，直线有且仅有1条；当时，直线有且仅有2条
10、；当时，直线有且仅有3条；当时，直线有且仅有4条；当时，直线有且仅有1条.故，均正确，错误.故选：.【点睛】本题考查线面角大小的判断，处理技巧上，将直线转化成共面直线非常关键，考查了数形结合，分类讨论的数学思想，属于中档题13. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）A. B. 函数是偶函数C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立D. 存在三个点，使得为等边三角形【答案】ABCD【解析】【分析】依次判断每个选项：，故；判断，为偶函数；判断；取为等边三角形，得到答案.【详解】，正确；，偶函数，正确；，正确；
11、易知三点构成等边三角形，正确；故选：【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上14. 命题：“，”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，故答案为：【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题15. 已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_.【答案】【解析】【分析】由已知求得函数在上的解析式，求其导函数，得到（1），再由直线方程点斜式得答案【详解】为偶函数，且当时，当时，则，（1）曲线在点处的切线方程是
12、，即故答案为：点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，是中档题16. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_.【答案】【解析】【分析】根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率.【详解】甲和乙都不可能是第一名，第一名只可能丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，这三个人获得第一名是等概率事件，丙是第一名的概率是.故
13、答案为：.【点睛】本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型.17. 在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则_，三棱锥的体积最大值是 _.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据，利用体积公式求解得出，求解最值，根据勾股定理得出，利用函数求解即可.【详解】在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，如图：，即，设，作，化简得：，根据函数单调性判断：时，最大值为36，在正方体中，面，三棱锥的体积最大值为故答案为：2；【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解，是中档题
