1、概率第三章3.3几何概型3.3.2均匀随机数的产生课前自主预习 1了解均匀随机数的产生方法与意义2会用模拟试验求几何概型的概率3能利用模拟试验估计不规则图形的面积1均匀随机数的定义如果试验的结果是区间a，b内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是，则称这些实数为均匀随机数2均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性等可能的相等3均匀随机数的产生(1)计算器产生区间0,1上的均匀随机数的函数是 RAND.(2)Excel 软件产生区间0,1上的均匀随机数的函数为“rand”(3)产生方法：由几何概型产生；由转盘产生；由计算器或计算机产生4用模拟方法
2、近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟实验，并统计试验效果，进行近似计算(2)计算机模拟法：用 Excel 软件产生0,1上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤1计算机只能产生0,1上的均匀随机数，若试验的结果是区间a，b上等可能出现的任何一个值，则需要产生a，b上的均匀随机数，对此，你用什么办法解决？提示 首先利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数XRAND，然后利用伸缩和平移变换：Y(ba)Xa 计算 Y 的值，则 Y 为a，b上的均匀随机数.2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数 N 和事件
3、 A 发生的次数 N1，得到的值N1N 是 P(A)的精确值()(2)用均匀随机数进行随机模拟不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积()(3)用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率()提示(1)(2)(3)课堂互动探究 题型一用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率【典例 1】取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于 1 m 的概率思路导引 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍0,3内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应0,3上的均匀随机数，其中取得的1,2内的
4、随机数就表示剪断位置与端点距离在1,2内，也就是剪得两段的长都不小于 1 m这样取得的1,2内的随机数个数与0,3内的随机数个数之比就是事件发生的频率解 解法一：设“剪得两段长都不小于 1 m”为事件 A.利用计算器或计算机产生一组0,1的均匀随机数 a1RAND.经过伸缩变换，a3a1.统计出1,2内随机数的个数 N1 和0,3内随机数的个数 N.计算频率 fn(A)N1N 即为概率 P(A)的近似值解法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0,3(这里 3 和 0 重合)转动圆盘记下指针指在1,2(表示剪断绳子位置在1,2范围内)的次数 N1 及试验总次数 N，则 fn(A)N1
5、N 即为概率 P(A)的近似值 用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤(1)利用计算器或计算机产生一组0,1上的均匀随机数 a1RAND.(2)经过伸缩变换 y(ba)xa，得到一组a，b上的均匀随机数(3)统计出试验总次数 N 和满足所求概率事件的随机数个数N1.(4)计算频率 fn(A)N1N，即为所求概率的近似值针对训练 1 已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的试验发现米粒落入BCD 内的频率稳定在49附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为_解析 设米粒落入BCD 内的频率为 P1，米粒落入BAD内的频率为 P2，点 C 和点 A 到直线 BD 的
6、距离分别为 d1，d2，根据题意得，P21P114959，又P1 SBCDS四边形ABCD12BDd1S四边形ABCD，P2 SBADS四边形ABCD12BDd2S四边形ABCD，P2P1d2d154.答案 54 题型二与面积有关的几何概型【典例 2】(1)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn(2)解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为
7、 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为5 m,2 m,1 m若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率思路导引 本典例为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置解析(1)设由0 xn10yn1 构成的正方形的面积为 S，x2ny2n1 构成的图形的面积为 S，所
8、以SS 141 mn，所以 4mn，故选 C.(2)设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND；经过伸缩和平移变换，a16a18，b14b17，得到8,8与7,7上的均匀随机数；统计满足8a8，7b7 的点(a，b)的个数 N.满足1a2b24 的点(a，b)的个数 N1；计算频率 fn(A)N1N，即为所求概率的近似值答案(1)C(2)见解析引申探究：若本例(2)条件不变，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率？解 设事件 C 表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机
9、数，a1RAND，b1RAND.经过伸缩和平移变换，a16a18，b14b17，得到8,8与7,7上的均匀随机数统计满足8a8，7b25 的点(a，b)的个数 N1.计算频率 fn(C)N1N，即为所求概率的近似值 用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比
10、.针对训练 2 现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率解 第一步，利用计算器或计算机产生两组 0 至 1 区间内的均匀随机数 a1、b1(共 N 组)；第二步，经过平移和伸缩变换，a(a10.5)*2，b(b10.5)*2；第三步，数出满足不等式 b2a43，即 6a3b4 的数组数N1.所求概率 PN1N.可以发现，试验次数越多，概率 P 越接近 25144.题型三用随机模拟法求解不规则图形的面积【典例 3】(1)如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1000粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_(2)利用随机模拟的方法计算曲线
11、 y2x 与 x 轴，直线 x1所围成图形(如图中阴影部分)的面积思路导引 在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值解析(1)正方形的面积 S1，设阴影部分的面积为 S，因为随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，所以由几何概型的概率公式进行估计得SS 18010000.18，即 S0.18.故填0.18.(2)利用计算器产生两组0,1上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND；进行伸缩和平移变换，a2a11，b2b1，分别得到1,1和0,2上的均匀随机数；统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数 N1；计算频率N1N，
12、即点落在阴影部分的概率的近似值；设阴影部分的面积为 S，由几何概型的概率计算公式得点落在阴影部分的概率为S4.所以N1N S4，则 S4N1N.此即阴影部分面积的近似值答案(1)0.18(2)见解析 利用随机模拟方法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率 P(A)N1N.(3)设阴影部分的面积是 S，规则图形的面积是 S，则有 SSN1N，解得 SN1N S，则所求图形面积的近似值为N1N S.针对训练3 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(yx3和x2
13、以及 x 轴所围成的部分)的面积解(1)利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND；(2)经过伸缩变换，a2a1，b8b1；(3)统计出试验总次数 N 和落在阴影部分(满足 ba3)点(a，b)的个数 N1；(4)计算频率N1N 就是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分的面积为 S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为 S16.所以 S16N1N，所以 S16N1N 即为阴影部分面积的近似值课堂归纳小结1在区间a，b上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.请做：随堂巩固验收
