1、北京市延庆区2020届高三数学第一次模拟考试（3月）试题本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。 第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数是正实数，则实数的值为（A） （B） （C） （D）（2）已知向量，若与方向相同，则等于（A） （B） （C） （D）（3）下列函数中最小正周期为的函数是（A） （B） （C）（D） （4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是11正（主）视图11侧（左）视图俯视图（A） （B）
2、（C） （D） （5）某四棱锥的三视图所示，已知 该四棱锥的体积为，则它的表 面积为（A） （B） （C） （D） （6）的展开式中，的系数是（A） （B） （C） （D） （7）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（A） （B） （C） （D）（8）已知直线，平面，那么“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9） 某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少
3、年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）（A）年 （B）年 （C）年 （D）年（10） 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且，则的面积为（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知集合，且，则的取值范围是 （12）经过点且与圆相切的直线的方程是 （13）已知函数，则 （14）某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出 种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种.（15）在中，是
4、边的中点. 若，则 的长等于 ；若，则的面积等于 .三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。OEDACBP（16）（本小题14分）如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（）求证：是的中点；（）求证：和所成角等于.（17）（本小题14分）已知数列是等差数列，是的前n项和， .（）判断2024是否是数列中的项，并说明理由； （）求的最值.从 ，中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（18）（本小题14分） A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上
5、网时长，数据如下表（单位：小时）：A班12 1313182021B班11 11.512131317.520C班11 13.5151616.51921（）试估计A班的学生人数；（）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率； （）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率. （19）（本小题14分）已知函数，其中.（）当时，求曲线在原点处的切线方程； （）若函数在上存在最大值和最小值，求的取值范围.（20）（本小题15分） 已知椭圆的左焦点为，且经过点，分别是的右顶点和上顶点，过原点的直
6、线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点. （）求椭圆的标准方程；（）若，求直线的方程；（）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.（21）（本小题14分） 在数列中，若，且（），则称为“J数列”.设为“J数列”，记的前项和为.（）若，求的值； （）若，求的值； （）证明：中总有一项为或.延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. C 2D 3D 4C 5. B 6B 7A 8. C 9. B 10. A 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）xAF1FyB11； 12
7、. ； 13； 14； 15.10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.正切两角和公式15. 在中，在中，ADCB132相除得：，所以，所以.日常演练-考场实战（32字诀）：仔细阅读、精准理解，严谨思考、认真演算，禁绝马虎、克制浮躁，机不可失、力求必胜.EDACBPFO三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（）联结，设与交于，联结， 1分因为 平面，平面平面=,所以 4分因为 是正方形，所以 是的中点所以 是的中点 6分（）（法一）因为 平面，所以 7分因为 是
8、正方形，所以 因为 所以 平面 10分所以 因为 因为 所以 平面 13分因为 平面所以 所以 与成角. 14分（法二）连接，因为 平面，所以 ， . 7分因为 是正方形，所以 .所以 两两垂直.以分别为、建立空间直角坐标系.8分则， 9分，, 10分 （1分） 13分所以所以 与成角. 14分17. 解：选 （）因为，所以 2分所以 4分所以 6分令 ，则此方程无正整数解所以不是数列中的项. 8分不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；只有结果，正确给1分. （）（法一）令， 即 ，解得： 当时，当时， 11分当时，的最小值为.13分无最大值 14分只给出最
9、小值-26，未说明n=4扣1分.无最大值 1分（）（法二）， 11分当时，的最小值为.13分无最大值 14分选 （）， 2分 4分 6分令 ，则解得是数列中的第512项. 8分（）令， 即 ，解得：当时，当时，当时， 11分当或时，的最小值为. 13分无最大值 14分选 （）， 2分 4分 6分令 ，则（舍去）不是数列中的项. 8分（在的基础上利用单调性作出正确判定给满分）（）令， 即 ，解得：当时，当时，当时， 11分当或时，的最大值为. 13分无最小值. 14分18（本小题满分14分）解：（）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名根据分层抽样方法，班的学生人数估计为 3分只有结果3
10、6扣1分（）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+2+4=9种， 6分. 7分由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为. 8分只有结果而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.（）设从班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有人一周上网超过15小时为事件,从班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件则所求事件的概率为：. 14分（）另解：从A班的6人中随机选2人，有种选法，从B班的7人中随机选1人，有种选法，故选法总数为：种 10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15
11、小时”为，则中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人超15小时， 11分所以. 14分只有，而无文字说明，扣1分有设或答，有，给3分19（本小题满分14分）（）解：.切线的斜率；曲线在原点处的切线方程为：. 5分（） 7分（1）当 则 9分0（0，）（）0递增递减法1： 10分在恒成立，. 13分所以的取值范围为. 14分法2：； 10分当时， ；即时，；时，所以的取值范围为. 14分用趋近说：，论述不严谨，扣1分.（2）当.则0（0，）（）-0+递减递增法1：.在恒成立，.综上：的取值范围是.
12、法2：；当时，；（论述不严谨，扣1分）即时，；时，综上：的取值范围是.20（本小题满分15分）解：（）法一：依题意可得解得 （试根法）所以椭圆的标准方程为. 3分法二：设椭圆的右焦点为，则， ，所以椭圆的标准方程为. 3分（）因为点在第一象限，所以直线的斜率存在， 4分设直线的斜率为，则直线的方程为，设直线 与该椭圆的交点为 由可得， 5分 易知，且， 6分 则 7分， 所以(负舍)，所以直线的方程为. 8分 用到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分，设点， 又 解得：所以直线的方程为，即.（）设，则，易知，.由，所以直线的方程为. 9分 若使的面积是的面积的4倍，只需使得， 10分法
13、一：即 . 11分设直线的方程为，由 得， 12分由 得， 13分 代入可得，即：（约分后求解）解得，所以. 15分法二：所以，即. 11分设直线的方程为，由 得， 12分所以，因为点在椭圆上，所以， 13分 代入可得，即：解得，所以. 15分法三：所以，即. 11分 点在线段上，所以，整理得， 12分因为点在椭圆上，所以， 把式代入式可得，解得. 13分于是，所以，.所以，所求直线的方程为. 15分解析几何（一）问题梳理：1.求值计算问题（求点的坐标，直线方程，长度，面积，比值，角）-方程（组）；2.最值（取值范围）问题-函数或方程；3.恒成立（或定值问题）（1）恒等式证明， （2）恒不等式
14、（函数值域或最值）；4.存在性问题（1）等式-方程（组）， （2）不等式-不恒成立-最值（或取值范围）（二）核心方法-坐标法（用坐标表示一切，一切用坐标表示）（三）解题策略-几何转化（平行四边形，菱形，矩形，等腰（等边）三角形，直角三角形，面积，比值，椭圆，定义、判定、性质）；变元设置（点（单动点、双动点），直线（斜率、截距）；消元方法（代入消元、加减消元、同乘或同除、整体代换）；消元途径与时机，代数转化（约分化简、分式化整式、根式配方）.21.解：（）当时，中的各项依次为， 所以. 3分 （） 若是奇数，则是偶数， 由，得，解得，适合题意. 若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上，. 8分 （）首先证明：一定存在某个，使得成立. 否则，对每一个，都有，则在为奇数时，必有； 在为偶数时，有，或. 因此，若对每一个，都有，则单调递减， 注意到，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个，使得成立. 经检验，当，或，或时，中出现； 当时，中出现， 综上，中总有一项为或. 14分