1、十四导数及其几何意义(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t3-2表示,则此物体在t=1 s时的瞬时速度(单位:m/s)为()A.1B.3C.-1D.0【解析】选B.s=(1+t)3-2-13+2=1+3t+3(t)2+(t)3-2-1+2=3t+3(t)2+(t)3,=3+3t+(t)2,=3.所以t=1 s时的瞬时速度为3 m/s.2.若y=f(x)=x3,f(x0)=3,则x0的值是()A.1B.-1C.1D.3【解析】选C.因为y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)3-=3x+3x0(x)
2、2+(x)3,所以=3+3x0x+(x)2,所以f(x0)=3+3x0x+(x)2=3,由f(x0)=3,得3=3,所以x0=1.3.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为()A.1B.C.-D.-1【解析】选A.因为y=(2a+ax)=2a.所以2a=2,a=1.4.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是()【解析】选B.由y=f(x)的图像及导数的几何意义可知,当x0,当x=0时,f(x)=0,当x0时,f(x)0,对于任意实数x,有f(x)0,则的最小值为_.【解题指南】由导数的定义,先求出f(0)的值,从而求出的表达式,
3、再利用“对于任意实数x,有f(x)0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f(0)=a(x)+b=b.又因为对于任意实数x,有f(x)0,则所以ac,所以c0.所以=2(当且仅当a=c=b时,取等号).答案:26.已知二次函数y=f(x)的图像如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为:f(a)_f(b)(填“”).【解析】f(a)与f(b)分别表示函数图像在点A,B处的切线斜率,故f(a)f(b).答案:7.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9,P点的横坐标是4,则f(4)+f(4)=_.【解析】由题意,f(4
4、)=-2,f(4)=-24+9=1.因此,f(4)+f(4)=-2+1=-1.答案:-18.已知曲线y=f(x)=上两点P(2,-1),Q.则曲线在点P,Q处的切线的斜率分别为_;曲线在P,Q处的切线方程分别为_.【解析】将点P(2,-1)代入y=,得t=1,所以y=.y=.(1)曲线在点P处的切线斜率为y|x=2=1;曲线在点Q处的切线斜率为y|x=-1=.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即:x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=x-(-1),即:x-4y+3=0.答案:1,x-y-3=0,x-4y+3=0三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知曲线y=x2+
5、1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】由=2x+x,得y=(2x+x)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线斜率为k=y=2x0,由点斜式得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又因为切线过点(1,a),且y0=+1,所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0.因为切线有两条,所以=(-2)2-4(a-1)0,解得a2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是(-,2).10.(1)求曲线f(x)=在点(-2,-1)处的切线方程;(2)求经过点(
6、2,0)且与曲线y=相切的直线方程.【解析】 (1)因为曲线在点(-2,-1)处的切线的斜率就等于函数 f(x)=在点(-2,-1)处的导数值.而f(-2)=-,故曲线在点(-2,-1)处的切线方程为y+1=-(x+2),整理得x+2y+4=0.(2)可以验证点(2,0)不在曲线上,设切点为P(x0,y0).由y=-,故所求切线方程为y-y0=-(x-x0).由点(2,0)在所求的直线上,得y0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲线y=上,得x0y0=1,联立可解得x0=1,y0=1,所以直线方程为x+y-2=0.11.已知直线l:y=4x+a和曲线y=f(x)=x3-2x2+3相切.求a的值及切点的坐标.【解析】设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),因为f (x)=3x2-4x.由导数的几何意义,得3-4x0=4,解得x0=-或x0=2.所以切点的坐标为或(2,3),当切点为时,有=4+a,所以a=.当切点为(2,3)时,有3=42+a,所以a=-5.所以a=,切点为;a=-5,切点为(2,3).
