1、沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习向量专题之研究新数列题型 教学目标初步了解研究新数列题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。【解读：研究新数列题型难度很大】知识梳理 无典例精讲 【说明：此部分所给题量较大，难度也很大，大都是高考原题、一二模考题。各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。建议要优质生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（）已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期例如：数列， 可看作周期为1的数列； 数列， 可看作周期为2的数列； 数列，
2、可看作周期为3的数列（1）对于数列，它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式； （2）求数列的前项和； （3）在数列中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、均为实数，求该数列的一个通项公式解：（1）或等（2）当时，；当时，；来源:Zxxk.Com当时，（）（3）由题意，应有，得，于是，把，代入上式得由(1)(2)可得，再代入(1)的展开式，可得，与(3)联立得，于是，因为，所以，于是可求得故（）【评述：此题向函数借鉴，给了一个周期数列，考查学生求通项和求和的能力，涉及到了分类讨论，还有一些三角的知识，难度不大】例2.（）如果无穷数列满足下列条件： ；存在实数，使其中，那么我们称数列为
3、数列（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和， 证明：数列是数列；（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：解：（1）,故数列单调递减；当时,，即，则数列中的最大项是，所以， （2）是各项正数的等比数列，是其前项和，,，设其公比为， ，整理得，解得或（舍）对任意的，有，且，故是数列。（3）假设存在正整数使得成立，有数列的各项均为正整数，可得，即。因为，所以，由及，得 ，故因为， 所以由此类推，可得,又存在,使，总有，故有，这与数列的各项均为正数矛盾 ，所以假设不成立，即对任意，都有成立【评述：此题把满足一定条件的数列作为一类，特别是后一个条件涉及
4、到了数列的单调性。此类题考得很频繁，要学生搞懂接替一般思路和步骤】例3.（）对于项数为的有穷数列，记（），即为中最大值，称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（3）设，常数，若，是的控制数列，求解：（1）数列为： （2）因为，所以. 因为，所以，即. 因此，. （3）对，； ；.比较大小，可得. 因为，所以，即； ，即. 又，从而，. 因此 .【评述：此题给了一个定义，可以由已知数列生成另一个数列，但是法则较难，导致反生成不是唯一的。第二问较为抽
5、象，从数列的单调性入手，有一定难度；第三问又要讨论，较为复杂。此类题可以要求学生先从具体数列开始，寻求规律，真正理解定义，再去归纳到一般形式，字母的逻辑运算】例4.（）对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质，例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值（2）若具有性质，求证：，且当时，（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式解：（1）选取，中与垂直的元素必有形式.所以,从而. （2）证明：取.设满足. 由得，所以异号. 因为是中唯一的负数，所以中之一为，另一为，故.假设，其中，则选取，并设满足，即，来源:Z_xx_k.Com则异号，从而之中恰有一个为.若，则，
6、矛盾；若，则，矛盾；所以.（3）设，则等价于.记，则数集具有性质当且仅当数集关于原点对称.注意到是中的唯一负数，共有个数，所以也只有个数.由于，已有个数，对以下三角数阵: 注意到，所以，从而数列的通项公式为 【评述：此题将集合、向量、数列交织在一起，非常复杂，难度很大。第一问通过列举法，较简单。第二、第三问都很那入手，涉及到了数列的单调性等。此类题可以要求学生先从具体数列开始，寻求规律，真正理解定义，再去归纳到一般形式，字母的逻辑运算。同时，要求学生多做题，吃透题。例如此题与2009北京高考题最后一题、2011五校联考填空压轴题、2012浦东三模压轴题都如出一辙，但是学生要么没做过这些题，要么
7、做了，以为懂了，但是没有吃透。所以讲透难点很重要】巩固练习1.（）如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；（3） 已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.（4）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.解：（1）因为数列：是“兑换
8、系数”为的“兑换数列”所以也是该数列的项，且故即。（2）不妨设有穷数列的项数为。因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，所以也是该数列的项，又因为数列是递增数列，且，则，故（3）数列是“兑换数列”。证明如下：设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列若，则即对数列中的任意一项，同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；又因为数列所有项之和是，所以，即（4）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，所以，则又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，则， 若，则有，又，由此得，与矛盾； 若。由，得即，故，与矛
9、盾；综合得，不存在满足条件的数列。【评述：此题把满足一定条件的数列作为一类，突破口，还是数列的单调性。此题还涉及了倒序相加等数列基本技巧，其实这种考法很常见，一定要让学生搞懂一般思路和步骤】2.（）设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”例如数列创新数列为考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列（1）若，写出创新数列的所有数列；（2）是否存在数列，使它的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，创新数列为的所有数
10、列有两个，即和（2）存在数列的创新数列为等比数列设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以若为等比数列，设公比为，因为，所以当时，为常数列满足条件，即为数列；当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列综上符合条件的创新数列只有一个（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以若为等差数列，设公差为，因为，所以且 当时，为常数列满足条件，即为数列，此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；当时，又这与矛盾，所以此时不存在。来源:学科网ZXXK综上满足条件的数列的个数为个（或
11、回答个）来源:Zxxk.Com【评述：此题又是“生成数列”问题，又和数列的单调性有关。此题还涉及了排列组合等。我们发现，数列类题目，很考查学生逻辑推理能力，这也是一个命题特点】3.（）已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于，（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；（2）求证：；求证：；（3）研究当和时，集合中的数列是否一定成等差数列？解：（1）对于集合：来源:学科网集合具有性质对于集合：，集合不具性质（2） （3） 当时，集合中元素一定成等差数列证明：当时， 即 又，故成等差数列 当时，集合中元素不一定成等差数列如：中组成等差数列；中不组成等差数列 当时，成等差数列证明：当时， 又成等
12、差数列【评述：此题还是和数列的单调性、逻辑推理能力有关，近年热点考法】回顾总结 通过本专题的学习，你对研究新数列题型了解了多少？有没有发现这些题目在命题特点上和解法上有没有什么共性？涉及到了哪些知识点？又要注意些什么？大致题型：（1）新定义型数列，把满足一个或者多个条件的数列放在一个集合中，给一个统一名称；（2）新性质型数列，把满足一个特定性质的数列，单独拿出；（3）新生成型数列，按照某个法则，由已知数列生成新数列，也可以与其他章节结合；命题特点：一定会涉及到数列的基础知识，必须基础扎实。例如：数列的通项（不多）、求和（很多）、单调性（极多）等解题要领：“从特殊到一般”、“从一般到特殊”、列举法等例如：单数列单性质类：先写出这个数列的前几项甚至前十几项，找出规律，大致解决问题，再去想如何用字母去写，上升到一般情形，注意思维的严谨性；同理：多数列同性质类：先写出几种符合要求的数列，找出该性质的特点；
