1、专题讲练 专题6 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航考 点新课标卷考题统计考纲解读2019年2018年2017年直线与椭圆的位置关系卷，21卷，19卷，20卷，20卷，20主要考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，有交点的个数、弦长、面积等问题题型主要为解答题.直线与双曲线的位置关系直线与抛物线的位置关系卷，19卷，21卷，19卷，20栏目导航02 热 点 题 型 03 精 题 强 化 01 真 题 感 悟 第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航01 真 题 感 悟 1(2019年新课标)已知抛物线C
2、：y23x的焦点为F，斜率为 32 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设直线l的方程为y32(xt)，代入y23x，得94x292t3 x94t20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22t43，x1x2t2.由抛物线的定义，得|AF|BF|x1x2324，解得t 712.所以直线l的方程为y32x78.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)若AP3PB，则y13y2，即32(x1t)332(x2t)
3、，化简得x13x24t.联立x1x22t43，x1x2t2，解得t1，x13，x213.所以|AB|194243244 133.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2(2019年天津)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为 55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率【解析】(1)由题意可得2b4，b2.又eca 55，a2b2c2，a 5，c1.椭圆方程为x25y241.第一部分 专题
4、讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)知B(0,2)设PB的方程为ykx2.联立ykx2，x25y241，化简得(45k2)x220kx0，解得x 20k45k2或x0.ykx2810k245k2.P 20k45k2，810k245k2.在ykx2中，令y0，得M2k，0.易得N(0，1)，由OPMN，得810k220k 12k1，解得k2 305.直线PB的斜率为2 305.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)
5、(1)当a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0直线与圆锥曲线相离第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)若a0，b0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交且只有一个交点若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合2圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x2x1|11k2|y2y1|.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航例1(2018年新课标)设抛物线C：y
6、24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【分析】(1)设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程(2)根据圆心在AB的垂直平分线上且圆心到C的准线的距离等于半径，求出圆心坐标和半径，即可得圆的方程02 热 点 题 型 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)抛物线C的焦点为F(1,0)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立ykx1，y24x，消去
7、y，得k2x22(k22)xk20，x1x22k22k2，x1x21.由|AB|x1x2p2k22k228，解得k1.直线l的方程yx1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)得AB的中点坐标为D(3,2)，则直线AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，x012x032y02216，解得x03，y02或x011，y06.所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组
8、得到交点坐标也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2019年江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的焦点为F1(1,0)，F2(1，0)过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B
9、，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF152.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)F2AF2B，F2ABF2BA.F2A2aF2DDAF2DF1D，DAF1D，则DAF1DF1A.DF1AF2BA.DF1BF2.c1，b2a21，则椭圆方程为x2a2 y2a211.取x1，得yDa21a，则AD2aa21aa21a.又DF152，a21a52，解得a2或a12(舍去)椭圆C的标准方程为x24y231.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)知D1，32，又F1(1,0)
10、，kBF2kDF132234.直线BF2的方程为y34(x1)由y34x1，x24y231，得21x218x390.解得x11或x2137(舍去)y132.点E的坐标为1，32.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航圆锥曲线中的中点弦、弦长问题例2(2018年新课标)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24 y23 1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)求证：k12；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0，求证：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【分析】(1
11、)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用点差法得6(x1x2)8m(y1y2)0，ky1y2x1x2 68m 34m.又点M(1，m)在椭圆内，即14m23 0)，解得m的取值范围，即可得k12.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，由FPFAFB0，可得x310.|FA|x112y21212x1，同理可得，|FB|212x2，|FP|212x332，即可证明|FA|FB|2|FP|，公差为12(|FA|FB|)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)线段AB的中点为M(1，m)，x1x22，y1
12、y22m.将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入x24y231中，化简得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，即6(x1x2)8m(y1y2)0，ky1y2x1x2 68m 34m.点M(1，m)在椭圆内，即14m23 1(m0)，解得0m32.k 34m12.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)证明：设P(x3，y3)，由(1)得x1x22，y1y22m.FPFAFB0，F(1,0)，x11x21x310，y1y2y30.x31，y3(y1y2)2m.m0，P在第四象限又P为C上一点，y332，m34，k1.|FA|212x1，|FB|212
13、x2，|FP|212x332，|FA|FB|412(x1x2)3.2|FP|FA|FB|，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航联立yx74，x24y231，化简得28x256x10.x1x22，x1x2 128.|x1x2|x1x224x1x23 217.该数列的公差d满足2d12|x1x2|3 2114.该数列的公差为3 2128.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用2涉及
14、弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出kAB y1y2x1x2 和x1x2，y1y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2019年广东广州综合测试)已知椭圆K：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e 22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x 3y20相切(1)求K的方程；(2)过F2的直线l交K于A，B两点，M为AB的中点，连接OM并延长交K于点C，若四边形OACB的面积S满足a2 3S，求直线l的斜率第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析
15、】(1)由题意得 ca 22，213c，a2b2c2，解得a 2，b1，c1.故椭圆K的方程为x22y21.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由于直线l的倾斜角不可为零，所以设直线l的方程为myx1，与x22y21联立，化简，得(m22)y22my10.设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 2mm22，y1y21m22，所以y0mm22，x0my012m22.设C(x，y)，又OC OM(0)，所以xx0，yy0.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航因为C在K上，故2x202y20 1m222.设h1为点O到
16、直线l的距离，h2为点C到直线l的距离，则h1h2|OM|MC|11h2(1)h1.由点到直线的距离公式，得h111m2121.而|AB|1m2 y1y224y1y22 21m2m222 2212，第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航所以S12|AB|(h1h2)221221 2 21.由题意知S a23 23，所以 2 21 23，解得 3.将 3代入，得m1.所以直线l的斜率为1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航定点与定值问题例3(2019年新课标)已知曲线C：yx22，D为直线y12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)
17、求证：直线AB过定点；(2)若以E 0，52 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)证明：由yx22，得yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线DA的方程为yy1x1(xx1)，即yx1xx212.同理，切线DB的方程为yx2xx222.联立两切线方程，得x12(x1x2)，y12x1x212，即x1x21.直线AB的方程为yx212y1y2x1x2(xx1)，即y12(x1x2)x12.直线AB过定点0，12.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)设
18、直线AB的方程为ykx12.由(1)得x1x22k，x1x21，AB中点为Hk，k212.由H为切点可得E0，52 到直线AB的距离为|EH|，得12521k2 k2k222，解得k0或k1.直线AB的方程为y12或yx12.由y12，得|AB|2，S四边形ADBESABESABD122(21)3.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航由yx12，得|AB|11 444，此时D1，12 到直线AB的距离为112122 2，E0，52 到直线AB的距离为12522 2，S四边形ADBESABESABD124(2 2)4 2.综上，四边形ADBE的面积为3或4 2.第一部分
19、专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关2求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2018年北京)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于
20、点N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)抛物线C：y22px经过点P(1,2)，42p，解得p2.设过点(0,1)的直线方程为ykx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组可得y24x，ykx1，消去y可得k2x2(2k4)x10，(2k4)24k20，且k0，解得k1，且k0.故直线l的斜率的取值范围(，0)(0,1)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)证明：设点M(0，yM)，N(0，yN)，则QM(0，yM1)，QO(0，
21、1)QMQO，所以yM1，故1yM.同理1yN.直线PA的方程为y22y11x1(x1)2y11y214(x1)42y1(x1)，令x0，得yM 2y12y1，同理可得yN 2y22y2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航由(1)得x1x22k4k2，x1x21k2，1111yM11yN2y12y12y22y282y1y22y12y282kx11kx211kx1x2k2x1x282k2x1x2kx1x211kx1x2k2x1x282142kk1142kk188k44k2.112，即11为定值第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1已知点F(1,0
22、)，直线l：x1，点B是l上的动点若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆 C圆D抛物线【答案】D【解析】连接MF，由中垂线性质，知|MB|MF|，即M到定点F的距离与它到直线x1的距离相等，点M的轨迹是抛物线故选D03 精 题 强 化 第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2已知点P(0,1)，椭圆 x24y2m(m1)上两点A，B满足AP2PB，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】5【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(0,1)，AP2 PB，可得x12x2,1y12(y21)，即有x12x2，y1
23、2y23.又x214y214m，即为x22y21m，x224y224m，得(y12y2)(y12y2)3m，可得y12y2m，解得y13m2，y23m4，则mx223m22，即有x22m3m2214(m210m9)14(m5)24.所以当m5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 x2a2 y2b21(ab0)的离心率为 22，长轴长为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2y289上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且AOB的面积是AOM的面积的2倍，求直线
24、AB的方程第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得，ca 22，2a4，解得a2，c 2，则b2a2c22.椭圆的方程为x24y221.(2)AOB的面积是AOM的面积的2倍，AB2AM.点M为AB的中点椭圆的方程为x24y221，A(2,0)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航设M(x0，y0)，则B(2x02,2y0)由x20y2089，2x02242y0221，化为9x2018x0160，解得x023或x083.又2 23 x02 23，x023，则y023.kAB12，则直线AB的方程为y12(x2)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航专题复习检测谢谢观看
