1、 椭圆及其标准方程(教案)一、 知识梳理：1. 椭圆的定义 定义的理解:当2a=2c时, ; 当2ab0)焦点在y轴上的标准方程: + =1(ab0) 两种方程可用统一形式表示:A+ B=1 (A0,B0且AB) ,当AB时,焦点在 轴上; 对椭圆的两种标准方程，都有，焦点都在长轴上，且a、b、c始终满足3.椭圆焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看分母大小,如果大于的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y上.4.椭圆的几何性质对于椭圆 + =1(ab0) (1) 范围:由标准方程+ =1(ab0)可知,|x|a , |y|b,说明椭圆位于直线x=y=所围成的矩形内;(2) 对称性:
2、 椭圆+ =1(ab0) 关于直线x轴,y轴,及原点对称;(3) 顶点:, 是椭圆与x轴的两个交点,是椭圆与y轴的两个交点.线段、分别叫椭圆的长轴与短轴，它们的长分别是2a，2b；a，b分别叫椭圆的半长轴长与半短轴长。(4) 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比值e= 叫椭圆的离心率，范围：（0，1），越接近于0越圆，越拉近于1越扁，常用=1- ；椭圆上点到焦点和直线x= 的距离之比等于离心率，由此可以求出椭圆上的点到相应的焦点的距离（焦半径）|p|=a+e |p|=a-e (5) 二次曲线的弦长公式： 整理得到x的方程： 整理得到y的方程： 二、题型探究探究一：椭圆的标准方程（求椭圆方程常用方法：
3、待定系数法）例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）、两个焦点坐标分别为（-4，0）、（4，0），椭圆上的点P到两个焦点的距离之和为10；(=1)（2）、椭圆经过两点A（-1.5,-2.5），B()探究二：椭圆的几何性质例2：已知,为椭圆+ =1(ab0)的左、右焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为16，|A|、|、| A|成等差数列，求椭圆的方程。 (=1)探究三：直线与椭圆例3：已知,分别为椭圆+ =1(ab0)的左、右焦点，过斜率为1的直线a与椭圆交于A，B两点，且|A|、|、| B|成等差数列，（1）、求椭圆的离心率；(e=) (可以用焦半径公式或弦长公式)（2）、设点P（0，-1）满
4、足|PA|=|PB|，求椭圆的方程。(=1)(利用AB:y=x+c,AB中垂线y=-x-1求交点, 再用韦达定理处理) 解析(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组消去y，整理得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|x2x1|，得a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1，得c3，从而a3，b3.故
5、椭圆E的方程为1.三、方法提升（1）、熟练掌握椭圆的标准方程，特别是a，b，c，e四个数值的换算关系；（2）、掌握椭圆的定义、几何性质，通过运算得到的椭圆特殊结论要留下深刻印象；（3）、为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的办法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中极为重要。四、反思感悟 五、课时作业一、选择题1、.【广西（大纲）】9. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）A B C D解析 9A根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF
6、2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.2、【江西2014】14 设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于_【解析】 因为为椭圆的通径，所以，则由椭圆的定义可知： ，又因为，则，即，得，又离心率，结合得到：3、椭圆中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则ABF2的面积为（ ）（A）3 （B） （C） （D）44、方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）(A)-16m25 (B)-16m (C)m翰林汇5、已知椭圆的离心率e=，则m的值为（ ）(A)3 (B)3或
7、(C) (D)或翰林汇6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 （ ）(A)倍 (B)2倍 (C)倍 (D)倍翰林汇 7、椭圆ax2by2ab=0(ab0)的焦点坐标为（ ）(A)(0，) (B)(，0)(C)(0，) (D)(，0)翰林汇8、椭圆x2+4y2=1的离心率为 （ ）(A)翰林汇9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= （ ）A) (B) (C) (D)翰林汇10、曲线与曲线(m9)一定有（ ）(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)相同的准线二、填空题翰林汇11.(1)中心在原点，长半轴长与
8、短半轴长的和为9，离心率为0.6的椭圆的方程为_ _；(2)对称轴是坐标轴,离心率等于，且过点(2，0)的椭圆的方程是_ _翰林汇12.(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是 _ _ ；(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是_ _翰林汇13. 【辽宁2014】15. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . 解析 15.设MN的中点为G，则点G在椭圆C上，设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF
9、2|)4a12.14.已知椭圆的离率为，则m= 翰林汇三、解答题15、求椭圆的内接矩形面积的最大值.16【2014安徽】21（本小题满分13分）设,分别是椭圆：的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，（）若的周长为16，求；（）若，求椭圆的离心率17ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.18已知椭圆的焦点是,为椭圆上一点，且是和的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且120，求.参考答案1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 9.A 10.B翰林汇11. (1)或；(2)或翰林汇12. (1)；(2)翰林汇 13. y，(0，-2).(0，2) 翰林汇14. 3或15 .16.解：21（本小题满分13分） （）由得。 因为的周长为16，所以由椭圆定义可得 故。（）设，则且，由椭圆定义可得 在中，由余弦定理可得即化简可得，而，故于是有，因此，可得故为等腰直角三角形。从而所以椭圆的离心率。17.解：设顶点A的坐标为.依题意得 ，顶点A的轨迹方程为 .说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（，）与(0，6)应舍去.18解：(1)由题设4， 2c=2， 椭圆的方程为.（）设，则60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
