1、增分强化练(十八)一、选择题1已知直线l平面，直线m平面，若，则下列结论正确的是()Al或lBlmCm Dlm解析：当直线l平面，时，假设lA，过A在平面内作al，根据面面垂直的性质定理可知：a，这样过一点A有两条直线a，l与平面垂直，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，故假设不成立，所以l或l，故本题选A.答案：A2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，mn，则nD若，m，则m解析：设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若m，m，则与相交或平行，故A错误；在B中，若m，mn，则n或n，故B错误；
2、在C中，若m，mn，则由线面垂直的判定定理得n，故C正确；在D中，若，m，则m或m，故D错误故选C.答案：C3(2019蚌埠模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA12，E，F分别在AB，BC上，则下列说法错误的是()A直线AD与A1C1所成的角为B当E为中点时，平面A1D1E平面B1C1EC当E，F为中点时，EFBD1D当E，F为中点时，BD1平面B1EF解析：对于A选项，将A1C1平移到AC如图所示，由于四边形ABCD为正方形，故AD，AC所成角为，也即AD，A1C1所成角为，故A选项正确对于B选项，由于A1EB1E，A1B12，满足勾股定理，故A1EB1E，而A1E
3、B1C1，故A1E平面B1C1E，所以平面A1D1E平面B1C1E，故B选项正确对于C选项，由于EFAC，故EFBD，EFBB1，由此证得EF平面BDD1B1，故EFBD1，故C选项正确对于D选项，虽然EFBD1，但是BD1与B1E，B1F不垂直，故D选项说法错误综上所述，本小题选D.答案：D4(2019咸阳模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C1的中点，则异面直线A1E、FC所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：取C1D1的中点G，连接CG，FG(图略)，因为正方体ABCDA1B1C1D1，且E，G分别是AB，C1D1的中点，所以A1ECG，所以FCG即为
4、异面直线A1E、FC所成角或其补角，设正方体边长为2，则FCCG，FG，在FCG中由余弦定理得cosFCG，所以异面直线A1E、FC所成角的余弦值为，故选D.答案：D5如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1、BC1的中点，下列结论中，正确的是()AEFBB1 BEF平面BCC1B1CEF平面D1BC DEF平面ACC1A1解析：连接B1C交BC1于F，由于四边形BCC1B1是平行四边形，对角线平分，故F是B1C的中点因为E是AB1的中点，所以EF是B1AC的中位线，故EFAC，所以EF平面ACC1A1.故选D.答案：D6如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB
5、、BC的中点，将ADE，BEF，CDF分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A，若四面体AEDF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A5 B6C8 D11解析：由题意可知AEF是等腰直角三角形，且AD平面AEF.三棱锥的底面AEF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的体对角线的长度就是外接球的直径，直径为.球的半径为，球的表面积为426.故选B.答案：B二、填空题7在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1则异面直线BA1与AC1所成的角等于_解析：延长CA到D(图略)，使得ADAC，则AD
6、A1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1DA1BDBAB，则A1DB为等边三角形，DA1B60.答案：608(2019桂林、崇左模拟)在大小为75的二面角l内有一点M到两个半平面的距离分别为1和，则点M到棱l的距离等于_解析：由题意，设垂足分别为A，B，则在MAB中，MA1，MB，AMB105，AB21221cosAMB2，AB.设M到棱的距离为l，则l2. 答案：2三、解答题9(2019汕头模拟)如图，等边PAC所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，且有ADBC，ABADDC2，BC4.(1)证明：AB平面PAC；(2)求点D到平面PAB的距离解析：(1)证
7、明：取BC中点M，连接AM，则四边形AMCD为菱形，即有AMMCBC, 所以ABAC，又AB平面ABCD，平面ABCD平面PAC，平面ABCD平面PACAC，AB平面PAC.(2)由(1)可得PAAC2，所以ABC60，BAD120，取AC中点O，连接PO，则POAC，PO3，又PO平面PAC，平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDACPO平面ABCD；所以VDPABVPABDSABDPO22sin 1203，由(1)有AB平面PAC，得ABPA，SPAB222，设点D到平面PAB的距离为d，由VDPABSPABd.d.10如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在
8、的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB2AD2. (1)求证：EAEC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.试证：EFAB；若EF1，求三棱锥EADF的体积解析：(1)证明：平面ABCD平面 ABE，平面ABCD平面ABEAB，BCAB，BC平面ABCD，BC平面ABE.又AE平面ABE，BCAE.E在以AB为直径的半圆上，AEBE，又BEBCB，BC、BE平面BCE，AE平面BCE.又CE平面BCE，EAEC.(2)证明： ABCD，AB平面CED，CD平面CED ，AB平面CED.又AB平面ABE，平面ABE平面CEDEF，ABEF.取AB中点O，EF的中点O，(图略)在RtOOF中
9、，OF1，OF，OO.由(1)已证得BC平面ABE，又已知ADBC，AD平面ABE.故VEADFVDAEFSAEFADEFOOAD.11如图1，在ABC中，C90，AC2BC4，E，F分别是AC与AB的中点，将AEF沿EF折起，连接AC与AB得到四棱锥ABCEF(如图2)，G为线段AB的中点(1)求证：FG平面ACE；(2)当四棱锥ABCEF体积最大时，求F与平面ABC的距离解析：(1)证明：取AC的中点H，连接EH，GH，由于G是AB的中点，GHBC，且GHBC，又E，F分别为图1中AC与AB的中点，FEBC，且FEBC，FEGH，FEGH，四边形EFGH为平行四边形，FGEH，又FG平面ACE，EH平面ACE，FG平面ACE.(2)当四棱锥ABCF体积最大时，AE平面BCEF，又EFEC，AEEFE，FE平面AEC，又FEBC，BC平面ACEBCEH，又AEEC2，H是AC的中点，EHAC，ACBCC，EH平面ABC，而EF平面ABC，F到平面ABC的距离即为E到平面ABC的距离，EHECsin 45.
