1、2017年福建省龙岩市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若集合A=x|x0，B=x|y=ln（x1），则AB等于（）A（1，+）B（0，1）C1，+）D（，1）2已知复数z满足（1+2i）z=5，则复数z的虚部等于（）A1B1C2D23等差数列an中，a3，a7是函数f（x）=x24x+3的两个零点，则an的前9项和等于（）A18B9C18D364下列命题正确的是（）Ay=x+的最小值为2B命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”C“x2“是“”的充要条件Dx（0，），（）xlogx5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A
2、BCD36已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当x，0时，f（x）=2x，则f（5）=（）A2B2C4D47在区间0，上随机取一个x，则y=sinx的值在0到之间的概率为（）ABCD8中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的x为（）A2.4B1.8C1.6D1.29设不等式组，表示的平面区域为M，若直线y=kx2上存在M内的点，则实数k的取值范围是（）A1，3B（，13，+）C2，5D（，25，+）10已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三
3、角形，PA平面ABC，PA=2AB=2，则该球的表面积为（）A8B16C32D3611已知离心率为的双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若S=16，则双曲线C的实轴长是（）A32B16C8D412已知f（x）=x3，若x1，2时，f（x2ax）+f（1x）0，则a的取值范围是（）Aa1Ba1CaDa二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13平面内有三点A（0，3），B（3，3），C（x，1），且，则x为14过抛物线C：x2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若|AB|=5，则线段AB中点的纵坐标
4、为15已知Sn为数列an的前n项和，对nN*都有Sn=1an，若bn=log2an，则+=16若实数a，b，c，d满足=1，则（ac）2+（bd）2的最小值为三、解答题（共5小题，满分60分）17已知f（x）=sin2x+sinxcosx（）求f（x）的单调增区间；（）在ABC中，A为锐角且f（A）=，a=2，求ABC周长的最大值18如图，菱形ABCD的边长为12，BAD=60，ACBD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，DM=6（1）求证：OD平面ABC；（2）求三棱锥MABD的体积19某市为鼓励居民节约用水，将实行阶梯式计量水价，该市每户居民每月用
5、水量划分为三档，水价实行分档递增第一级水量：用水量不超过20吨，水价标准为1.60元/吨；第二级水量：用水量超过20吨但不超过40吨，超出第一级水量的部分，水价标准比第一级水价提高0.8元/吨；第三级水量：用水量超过40吨，超出第二级水量的部分，水价标准比第一级水价提高1.60元/吨随机调查了该市500户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下的频率分布表： 用水量（吨）0，10（10，20（20，30（30，40（40，50合计 频数50 200 100 b 50 500 频率0.1 a 0.2c 0.1 1 （1）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（2）从该市调查的500户
6、居民中随机抽取一户居民，求该户居民用水量不超过36吨的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该市每户居民该月的平均水费20已知椭圆M： +=1（ab0）的焦距为2，离心率为（1）求椭圆M的方程；（2）若圆N：x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P、Q两点，OP与OQ能否垂直？若能垂直，请求出相应的r的值，若不能垂直，请说明理由21已知函数f（x）=x22x+mlnx（mR），g（x）=（x）ex（1）若m=1，函数（x）=f（x）x2（2+）x（0xe）的最小值为2，求实数a的值；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1x2），求g（x1x2）的最小值
7、请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为cos（+）1=0，曲线C的参数方程是（t为参数）（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+选修4-5：不等式选讲23已知函数g（x）=|x|+2|x+2a|（aR）（1）当a=3时，解不等式g（x）4；（2）令f（x）=g（x2），若f（x）1在R上恒成立，求实数a的取值范围2017年福建省龙岩市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共
8、12小题，每小题5分，满分60分）1若集合A=x|x0，B=x|y=ln（x1），则AB等于（）A（1，+）B（0，1）C1，+）D（，1）【考点】交集及其运算【分析】由解析式求出函数的定义域B，由交集的运算求出AB【解答】解：由x10得x1，则B=x|y=ln（x1）=x|x1，又集合A=x|x0，则AB=x|x1=（1，+），故选：A2已知复数z满足（1+2i）z=5，则复数z的虚部等于（）A1B1C2D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出【解答】解：（1+2i）z=5，（12i）（1+2i）z=5（12i），可得z=12i则复数z的虚部2故选
9、：D3等差数列an中，a3，a7是函数f（x）=x24x+3的两个零点，则an的前9项和等于（）A18B9C18D36【考点】等差数列的前n项和【分析】由韦达定理得a3+a7=4，从而an的前9项和S9=，由此能求出结果【解答】解：等差数列an中，a3，a7是函数f（x）=x24x+3的两个零点，a3+a7=4，an的前9项和S9=故选：C4下列命题正确的是（）Ay=x+的最小值为2B命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”C“x2“是“”的充要条件Dx（0，），（）xlogx【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，x0时，y=x+2；B，命题“xR，x2+13x”的否定是“x
10、R，x2+13x”；C，“x2“时“”成立，“”时，x2，或x0；D，根据指数函数，对数函数图象可判定x（0，），（）xlogx；【解答】解：对于A，x0时，y=x+2，故错；对于B，命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”，故错；对于C，“x2“时“”成立，“”时，x2，或x0，故错；对于D，根据指数函数，对数函数图象可判定x（0，），（）xlogx，正确；故选：D5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）ABCD3【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，A的值，当i=5时满足条件i4，退出循环，输出A的值为【解答】解：模拟程序的运行，可
11、得i=0，A=3，执行循环体，i=1，A=，不满足条件i4，执行循环体，i=2，A=不满足条件i4，执行循环体，i=3，A=3不满足条件i4，执行循环体，i=4，A=不满足条件i4，执行循环体，i=5，A=满足条件i4，退出循环，输出A的值为故选：A6已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当x，0时，f（x）=2x，则f（5）=（）A2B2C4D4【考点】函数奇偶性的性质【分析】确定函数的周期为3，利用f（x）是R上的偶函数，x，0时，f（x）=2x，即可得出结论【解答】解：f（x+3）=f（x），函数的周期为3，f（x）是R上的偶函数，x，0时，f（x）=2x，f（5）=
12、f（2）=f（1）=f（1）=2，故选B7在区间0，上随机取一个x，则y=sinx的值在0到之间的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】解出关于三角函数的不等式，使得在区间0，上，y=sinx的值在0到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率【解答】解：在区间0，上，y=sinx的值在0到之间，则x0，区间长度为，在区间0，上随机取一个x，y=sinx的值在0到之间的概率为=，故选B8中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为13.5（立方寸），则图中的x为（）A2.4
13、B1.8C1.6D1.2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成即可得出【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得：（5.4x）31+x=13.5，x=1.2故选：D9设不等式组，表示的平面区域为M，若直线y=kx2上存在M内的点，则实数k的取值范围是（）A1，3B（，13，+）C2，5D（，25，+）【考点】简单线性规划【分析】做出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx+1的图象是过点A（0，2），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，如图因为函数y=kx2的图象是过点A（0，2），
14、且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是2，5故选：C10已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA平面ABC，PA=2AB=2，则该球的表面积为（）A8B16C32D36【考点】球的体积和表面积【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2AB=2，OE=，ABC是正三角形，AB=，
15、AE=1AO=2所求球的表面积为：422=16故选B11已知离心率为的双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若S=16，则双曲线C的实轴长是（）A32B16C8D4【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线C一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长【解答】解：设F2（c，0），双曲线C一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|=b，即有|OM|=a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=
16、4，c=4，即有双曲线的实轴长为16故选：B12已知f（x）=x3，若x1，2时，f（x2ax）+f（1x）0，则a的取值范围是（）Aa1Ba1CaDa【考点】函数单调性的性质【分析】首先看出f（x）=f（x），求f（x），根据其符号即可判断f（x）为增函数，从而由原不等式可得到x2（a+1）x+10，设g（x）=x2（a+1）x+1，从而必须满足，这样解不等式组即得a的取值范围【解答】解：f（x）=f（x）；f（x）=3x20；f（x）在（，+）上单调递增；由f（x2ax）+f（1x）0得：f（x2ax）f（x1）；x2axx1，即：x2（a+1）x+10；设g（x）=x2（a+1）x+1，
17、则：；故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13平面内有三点A（0，3），B（3，3），C（x，1），且，则x为1【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解： =（3，6），=（x，2），6x6=0，可得x=1故答案为：114过抛物线C：x2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若|AB|=5，则线段AB中点的纵坐标为2【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案【解答】解：抛物线C：x2=4y，P=1，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其纵坐标分别为y1，y2，利用抛物线定义，|AB|=y
18、1+y2+p=5，AB中点纵坐标为 y0=（y1+y2）=（|AB|P）=2，故答案为：215已知Sn为数列an的前n项和，对nN*都有Sn=1an，若bn=log2an，则+=【考点】数列的求和【分析】对nN*都有Sn=1an，n=1时，a1=1a1，解得a1n2时，an=SnSn1利用等比数列的通项公式可得anbn=log2an=n可得=【解答】解：对nN*都有Sn=1an，n=1时，a1=1a1，解得a1=n2时，an=SnSn1=1an（1an1），化为：an=数列an是等比数列，公比为，首项为an=bn=log2an=n=则+=+=1=故答案为：16若实数a，b，c，d满足=1，则（
19、ac）2+（bd）2的最小值为【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由题意可得b=lna+2a2，d=3c2分别令y=f（x）=lnx+2x2，y=g（x）=3x2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值设与直线y=3x2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0，y0），求出切点P到直线y=3x2的距离d，则（ac）2+（bd）2的最小值为d2【解答】解：实数a，b，c，d满足=1可得b=lna+2a2，d=3c2，分别令y=f（x）=lnx+2x2，y=g（x）=3x2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值，f（x）=+4x，设与直线y=3x2平行且与曲线f
20、（x）相切的切点为P（x0，y0），则+4x0=3，x00，解得x0=1，可得切点P（1，2），切点P（1，2）到直线y=3x2的距离d=（ac）2+（bd）2的最小值为d2=故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17已知f（x）=sin2x+sinxcosx（）求f（x）的单调增区间；（）在ABC中，A为锐角且f（A）=，a=2，求ABC周长的最大值【考点】正弦函数的单调性【分析】（）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间（）由f（A）=求得A，利用余弦定理，基本不等式求得b+c的最大值，可得ABC的周长的最大值【解答】解：（）由题可知
21、f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x），令2k2x2k+，可得kxk+，可得函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ（）由f（A）=sin（2A），A为锐角，2A=，或2A=，解得A= （舍去），或A=，a2=4=b2+c22bccosA=（b+c）23bc，b+c4，当且仅当b=c时，取等号，故b+c的最大值为4，ABC的周长的最大值为618如图，菱形ABCD的边长为12，BAD=60，ACBD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，DM=6（1）求证：OD平面ABC；（2）求三棱锥MABD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的
22、体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ODAC，DOOM，由此能证明OD面ABC（2）由VMABD=VDABM，能求出三棱锥MABD的体积【解答】满分证明：（1）ABCD是菱形，AD=DC，ODAC，ADC中，AD=DC=12，ADC=120，OD=6，又M是BC的中点，OD2+OM2=MD2，DOOMOM，AC面ABC，OMAC=O，OD面ABC 解：（2）ABM中，AB=12，BM=6，ABM=120，=18，由（1）得OD面ABC，VMABD=VDABM=19某市为鼓励居民节约用水，将实行阶梯式计量水价，该市每户居民每月用水量划分为三档，水价实行分档递增第一级水量：用水量不超过2
23、0吨，水价标准为1.60元/吨；第二级水量：用水量超过20吨但不超过40吨，超出第一级水量的部分，水价标准比第一级水价提高0.8元/吨；第三级水量：用水量超过40吨，超出第二级水量的部分，水价标准比第一级水价提高1.60元/吨随机调查了该市500户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下的频率分布表： 用水量（吨）0，10（10，20（20，30（30，40（40，50合计 频数50 200 100 b 50 500 频率0.1 a 0.2c 0.1 1 （1）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（2）从该市调查的500户居民中随机抽取一户居民，求该户居民用水量不超过36吨的概率
24、；（3）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该市每户居民该月的平均水费【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图【分析】（1）由频率分布表能求出a，b，c（2）设“该户居民用水量不超过36吨”为事件A，由表能求出调查的500户居民中，用水量不超过36吨的概率（3）由用水量的频率分布表和题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，由此能求出该市每户居民该月的平均水费【解答】满分解：（1）由频率分布表可得：a=0.4，b=100，c=0.2（2）设“该户居民用水量不超过36吨”为事件A，由表可知，调查的500户居民中，用水量不超过36吨的概率为：P（A）=0.1+0.4+0.2
25、+0.2=0.82（3）由用水量的频率分布表和题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：用水量（吨）0，10）（10，20（20，30（30，40（40，50用水费用0，16（16，32（32，56（56，80（80，112频率0.10.40.20.20.1根据题意，该市每户居民该月的平均水费为：80.1+240.4+440.2+680.2+960.1=42.4（元）20已知椭圆M： +=1（ab0）的焦距为2，离心率为（1）求椭圆M的方程；（2）若圆N：x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P、Q两点，OP与OQ能否垂直？若能垂直，请求出相应的r的值，若不能垂直，请说明理由【
26、考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用椭圆M： +=1（ab0）的焦距为2，离心率为求出a，b，然后求解椭圆方程（2）设直线l的方程为：y=kx+m，利用直线l与圆：x2+y2=1相切，推出m2=r2（k2+1），由通过判别式0，得r24，令P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理通过=x1x2+y1y2=0，求出r=，满足r24，说明OP与OQ能垂直【解答】解：（1）依题意椭圆M： +=1（ab0）的焦距为2，离心率为得c=，e=，可得a=2，则b=1，椭圆的方程为（2）设直线l的方程为：y=kx+m，直线l与圆：x2+y2=1相切，=r，即
27、m2=r2（k2+1）由可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，=64k2m24（1+4k2）（4m24）=64k216m2+160所以m24k2+1可得r24令P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，若OP与OQ能垂直，则=x1x2+y1y2=0，（1+k2）+m2=0，（整理得5m24（k2+1）=0，把代入得（k2+1）（5r24）=0，r=，满足r24OP与OQ能垂直21已知函数f（x）=x22x+mlnx（mR），g（x）=（x）ex（1）若m=1，函数（x）=f（x）x2（2+）x（0xe）的最小值为2，求实数a的值；（2）若f（x）存在两个极值点x
28、1，x2（x1x2），求g（x1x2）的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值【分析】（），对a分类讨论即可的（）f（x）=2x2+=（x0），令f（x）=0，得2x22x+m=0，f（x）存在两个极值点x1，x2，（x1x2），可得上述方程在（0，+）上有两个不等实根x1，x2，可得x1x2范围g（x）=ex，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（），当a0时，（x）0，（x）在（0，e上是减函数，不合题意当a0时，由（x）0解得xa，由（x）0解得0xa，（x）在（0，a上是减函数，（x）在（a，+）上是增函数 当0ae时，（x）在（0，a）上是减函
29、数，（x）在（a，e）上是增函数（x）min=（a）=1lna=2，a=，合题意当ae时，（x）在（0，e上是减函数，不合题意综上述：a=（）f（x）=2x2+=（x0），令f（x）=0，得2x22x+m=0，f（x）存在两个极值点x1，x2，（x1x2），方程在（0，+）上有两个不等实根x1，x2，且x1+x2，=1，x1x2=x1（1x1）=2x11（1，0）g（x）=ex，当x时，g（x）0；当x时，g（x）0g（x）在上是减函数，g（x）在上是增函数 g（x1x2）的最小值为=请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的
30、原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为cos（+）1=0，曲线C的参数方程是（t为参数）（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）直线l的极坐标方程化为cossin1=0，由x=cos，y=sin，能求出直线l的普通方程；曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程（）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，求出直线l的参数方程，得到，由此利用韦达定理能求出的值【解答】解：（）因为，所以cossin1=0由x=cos，y=sin，得
31、xy1=0因为消去t得y2=4x，所以直线l和曲线C的普通方程分别为xy1=0和y2=4x（）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，设直线l的参数方程：（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2，=1选修4-5：不等式选讲23已知函数g（x）=|x|+2|x+2a|（aR）（1）当a=3时，解不等式g（x）4；（2）令f（x）=g（x2），若f（x）1在R上恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）由题意可得g（x）=|x|+2|x1|4，讨论当x1时，当0x1时，当x0时，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2）求得f（x）=g（x2）=|x
32、2|+2|xa|（aR），讨论a=2，a2，a2，运用分段函数求出f（x），所以f（x）的最小值为f（2）或f（a），由恒成立思想可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）依题意得g（x）=|x|+2|x1|4当x1时，原不等式化为：x+2（x1）4，解得1x2；当0x1时，原不等式化为：x+2（1x）4，解得0x1当x0时，原不等式化为：x+2（1x）4，解得x0综上可得，不等式的解集为x|x2； （2）f（x）=g（x2）=|x2|+2|xa|（aR）a2时，f（x）=；a=2时，f（x）=；a2时，f（x）=；所以f（x）的最小值为f（2）或f（a）；则，即所以|a2|1，解得a1或a32017年3月25日
