1、延庆区20152016学年度一模统一考试高三数学（理科） 2016年3月本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则 （ ）A. B.或 C. D.2.复数 （ ）A. B C. D3.已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ）1 1 1 1 2 正（主）视图侧（左）视图俯 视 图 （4题图） A B. C. D.5.执行
2、如图所示的程序框图,若输出的的值为，则判断框应填写 （ ） 否 是 结束 输出 （5题图） 开始 A B C D6.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是 （ ）A.是等比数列 B.对于，C对于，都有 D若，则对于任意，都有7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为155238亿元，与去年同一时期相比增长129%（如图，折线图中其它数据类同）根据统计图得出正确判断是 （ ）A近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长C该市生产总值2013年到2014年为负增长，2014年到2015年为正增长D.以上A、B
3、、C的判断都不正确-2 -1 0 1 2 1 -1 （图1） -1 1 -1 （图2） 0 1 8.已知偶函数，奇函数的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程，的实根的个数分别为，则 （ ） A B C D 第卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，现在从中任选人，要求每班至多选人，不同的选取方法的种数为 .10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。小明想测量一下小海坨山的高度，他在延庆城区（海拔约500米）一块平地上仰望小海坨山顶，仰角15度，他向小海坨山方向直行3400米后，再仰望小
4、海坨山顶，此时仰角30度，问小明测的小海坨山海拔约有 米. （11题图） 11.如图，在边长为的正六边形中， .12.如图，半径为的中，为的中点，的延长线交 （12题图）于点，则线段的长为 .13.等差数列中，已知，则能取得最 (大或小）值为 .14.若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.（）求的最小正周期和单调增区间；（）当时，求函数的最小值和最大值.16.（本小题满分13分）8 16 9 6 17 1 58 6 18 2 4 65 19 4 甲乙
5、在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（）一粒水稻约为克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为，乙品种中选出的籽粒数记为，求的概率.（）如从甲品种的6株中任选2株，记选到的超过187粒的株数为，求的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，已知在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面为正三角形，侧面底面，为线段的中点.（）求证：底面；（）求证：二面角为直二面角； （）在侧棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由.18.（本小题满分
6、13分）已知函数()求函数在处的切线方程；()若，讨论函数零点的个数 19.（本小题满分14分） 已知椭圆的长轴长为，离心率.（）求椭圆的方程； （）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线分别交轴、轴于、两点. 问：是否存在直线使与的面积相等（为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）已知数列满足，对任意都有从数列中取出部分项，并将它们按原来顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列. （）求； （）求数列的通项公式；（）证明：当且时，数列不存在无穷等差子数列.延庆区20152016学年度一模
7、统一考试高三数学（理科答案） 2016年3月一、选择题：C A A D C D B C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 10.米 11. 12. 13. 大， 14. 三、解答题：15. （本小题满分13分）解：（） 2分 4分所以，的最小正周期为. 5分由 6分得 7分的单调增区间为. 8分（）当时， 9分所以，当，即时，取得最大值； 11分当，即时，取得最小值. 13分16.（本小题满分13分）解：（）甲种水稻样本单株平均数为182粒，把样本平均数看做总体平均数，则甲种水稻亩产约为公斤. 2分（）. 7分（）的可能取值为，的分布列为：. 13分17. （本小题满分14
8、分）（）证明：因为为正三角形，为线段的中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以，底面. 3分（）证明：如图，取、依次为轴、轴建立空间直角坐标系.则、.5分证明一：，设平面的法向量为，平面的法向量为， ， 取，由解得，所以； 7分，取，由解得，所以. 9分因为，所以平面平面，所以，二面角为直二面角. 10分证明二：取的中点为，因为，所以， 又，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所以，二面角为直二面角. 10分（）假设存在满足题设的点，设，则，即，解得，则， 12分向量的方向量为，解得.13分 当时，又，所以平面. 所以，在棱上存在一点，使得平面，.14分18. （本小题
9、满分13分）解：() ，切点为，则切线方程为，即. 3分() 函数零点的个数即是方程 根的个数，等价于两个函数与函数图象交点的个数4分 5分当时，在上单调递增； 6分当时，在上单调递减； 7分当时， 在上单调递增， 8分在上有最小值为. 9分当时，函数与函数图象交点的个数为1；10分当时，函数与函数图象交点的个数为2； 11分当时，曲函数与函数图象交点的个数为3.12分 综上所述，当时，函数有三个零点；当时，函数有两个零点；当时函数有一个零点 13分19. （本小题满分14分） 解：（）. ，. 3分（）假设满足题设条件的直线存在，则直线的斜率存在且不等于零.由（）知，设直线的方程为. 5分令，解得，. 7分消去，得， 8分. 9分直线的方程：， 10分. 11分. 12分因为与的面积相等，所以与的面积相等，.矛盾. 13分所以满足题设条件的直线不存在. 14分20. （本小题满分13分）（）. 2分 （） 对任意都有成立，令，得 数列是首项和公比都为的等比数列 5分（）证明：假设存在无穷等差子数列，其公差为.若，则，数列单调递增，则.取. 从而这与是公差为的等差数列矛盾. 9分若，则，数列单调递减，则.取.从而.这与是公差为的无穷等差数列矛盾. 综上可知，命题得证. 13分