1、内蒙古宁城蒙古族中学2021届高三数学考试试题本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分) 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合A2，3，4，4，5，Bx|x1|0)的一条渐近线与直线yx垂直，则a的值为()A5 B25 C. D14已知平面，直线l，直线m不在平面内，下列说法正确的为()A若，m，则lm B若，m，则lmC若lm，则m D若lm，m，则5对于非零向量a、b，“2ab”是“a、b共线”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也
2、不必要条件6已知函数f(x)为定义在3，3上的奇函数，且f(2)f(1)f(3)0，则下列各式中一定成立的是()Af(1)ff(0)f(log9)Bf(log9)f(1)ff(0)Cf(log9)f(1)f(1)f(log28)Df(log9)f(1)0，则的最大值为()A. B. C. D69已知函数f(x)sin(4x)(x)，函数g(x)f(x)a有3个零点x1、x2、x3，则x1x2x3的取值范围是()A. B.C. D.第卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在相应的横线上)10在的展开式中，xy3的系数为_11已知抛物线的焦点为F，点P(1
3、，t)在抛物线上，则点P、F距离为_12已知圆O过点A(0，0)、B(0，4)、C(1，1)，点D(3，4)到圆 O上的点的最小距离为_13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表面积为_14如图，圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则_，若线段BC上一点D，BDDC，_15函数f(x)x，g(x)x2x3.若存在x1，x2，xn，使得f(x1)f(x2)f(xn1)g(xn)g(x1)g(x2)g(xn1)f(xn)，nN*，则n的最大值为_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)
4、已知递增等差数列an，等比数列bn，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等比数列，bnancn，nN*.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Sn.17(本小题满分15分)2020年1月4日天津日报发表文章总结天津海河英才计划成果厚植热土让天下才天津用我市精细服务海河英才优化引才结构“海河英才”行动计划，紧紧围绕“一基地三区”定位，聚焦战略性新兴产业人才需求，大力、大胆集聚人才。政策实施1年半以来，截至2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人具体比例如图所示新引进两院院士、长江学者、杰出青年科学基金获得者等顶尖领军人才112人记者李军计划从人才
5、库中随机选取一部分英才进行跟踪调查采访(1)李军抽取了8人，其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随机进行采访，每天4人(4人顺序任意)，求周五采访学历型人才人数不超过2人的概率；(2)李军抽取不同类型的人才有不同的采访补贴，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业型急需型人才最少每人补贴多少元，才能使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元？18(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点(1)求证：PC平面BDE；(2)直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度
6、；(3)若PA2，线段PC上是否存在一点F，使AF平面BDE？若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由19(本小题满分15分)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(c，0)，左右顶点分别为A、B，上顶点为C，BFC120.(1)求椭圆离心率；(2)点F到直线BC的距离为，求椭圆方程；(3)在(2)条件下，点P在椭圆上且异于A、B两点，直线AP与直线x2交于点D，说明点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明20(本小题满分16分)已知函数f(x)x2xklnx，k0.(1)函数f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，求k的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若函数f(x)
7、有两个不同极值点为x1、x2，证明|f(x1)f(x2)|2k.数学答案1D命题立意本题考查不等式解法、集合的交集运算解析Bx|x1|x|1x1，A2，3，4，4，5，AB2，4，故选D.2B命题立意本题考查复数的代数运算、复数的模、复数的几何意义解析设zabi，a、bR，则由2z|z|2i得2a2bi2i，z在复平面上对应的点在第二象限，故选B.3A命题立意本题考查两直线的位置关系、双曲线的渐近线方程解析双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，与直线yx垂直，1，a5.故选A.4B命题立意本题考查空间位置关系解析若，m，则m或m，又知l，则l与m可能相交、平行或异面，A错误；若，m，则m.又
8、知l，则ml，B正确；若，l，则l，又知lm，则m或m，C错误；若lm，m，l，则与可能平行，可能相交，D错误，故选B.5B命题立意本题考查向量共线定理解析若2ab，则ab；反之不成立如ab时，ab，不满足2ab，故“2ab”是“a，b共线的充分不必要条件”，故选B.6D命题立意本题考查函数的奇偶性、对数的运算性质解析f(x)为定义在3，3上的奇函数，f(log9)f(2)f(2)f(0)0，ff(3)f(3)又f(2)f(1)f(3)0，f(2)f(1)f(0)f(3)，即f(0)f(3)f(2)f(1)，即f(0)fff(1)，故选D.7C命题立意本题考查三角形面积公式、余弦定理解析A，b
9、3，SABC，SABCbcsinAc，c5.a2b2c22bccosA92523549，a7，故选C.8A命题立意本题考查基本不等式解析ab0，0，0.当且仅当即或时，等号成立，的最大值为，故选A.9D命题立意本题考查正弦型函数的图象和性质、函数零点解析画出f(x)sin的图象如图，g(x)f(x)a有3个零点x1，x2，x3，不妨设x1x2x3.则x1x2，x3，x1x2x3，故选D.10命题立意本题考查二项展开式中的特定项的系数解析展开式的通项为Tr1Cr5()5rCr5xyr，令得r3，xy3的系数为C35.111命题立意本题考查抛物线的几何性质解析抛物线的焦点F，抛物线的方程为x22y
10、，P(1，t)在抛物线上，12t，t，即P，|PF|1.12.命题立意本题考查圆的方程、两点间的距离最值解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y0，化为标准方程得(x1)2(y2)25，圆心为(1，2)，半径为，点D(3，4)到圆O上的点的最小距离为.136命题立意本题考查棱锥的体积、球的表面积解析设正四棱锥的底面边长为a、高为h，则由题意得解得正四棱锥的侧棱长l，球的半径Rl，球的表面积S4R26.14命题立意本题考查向量的加减运算、向量的数量积解析圆内接正三角形ABC边长为2，圆O的半径r，又BOC120，.，0()0.158命题立意本题考查函数的最值、存在性
11、问题解析由已知得，存在x1，x2，xn，使得x1x2xn1x2nxn3x21x13x22x23x2n1xn13xn成立，即x2n2xn3x212x13x222x23x2n12xn13成立，设h(x)x22x3，则存在x1，x2，xn使得h(xn)h(x1)h(x2)h(xn1)，h(x)(x1)22，x，h(x)，h(xn)h(x1)h(x2)h(xn1)2(n1)，2(n1)，n.又nN*，n的最大值为8.16命题立意本题考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式解题思路(1)解方程求得d和q，得an、bn的通项公式；(2)由(1)求得cn的通项公式，分成两组分别按照等比、等差数列的前n项和
12、公式求得即可解(1)由已知，an1(n1)d，a22a1a5，解得d2或0(舍)，an2n1，nN*.b1a1c12，bn2qn1，b4a4c416，解得q2，bn2n.(2)cnbnan2n(2n1)Snc1c2cn212232n(2n1)2222n13(2n1)2n12n2，nN*.17命题立意本题考查古典概型、离散型随机变量的期望解题思路(1)利用古典概型公式求得概率；(2)设创业型急需人才最少补贴x元，根据题意和图表列出各类人才的补贴数额的分布列求出E()，利用E()500，求得x值解(1)事件A“周五采访学历型人才人数不超过2人”的概率P(A).(2)各类人才的补贴数额为随机变量，取
13、值分别为400、500、600、x，分布列为400500600xP25.5%53.6%19.1%1.8%E()4000.2555000.5366000.1910.018x484.60.018x，48460.018x500，解为x.所以创业型急需型人才最少每人补贴元，才能使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元18命题立意本题考查线面平行的证明、线面角、线面垂直解题思路(1)建立空间直角坐标系，设PAa，求得平面BDE的法向量n1，利用n10，证明PC平面BDE；(2)求得平面PCD的法向量n2，利用向量法|cosn2|，求得a值，即PA长度；(3)设，利用n1，求得值，从而得PF长度解(1)
14、证明：PA平面ABCD，ABCD为正方形以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，连接BD，设PAa(a0)，A(0，2，0)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，D(0，0，0)，P(a，2，0)(a0)，E，(a，2，2)设平面BDE法向量为n1(x1，y1，z1)，(0，2，2)，令y11，n1，n14220，PC平面BDE，PC平面BDE.(2)设平面PCD法向量为n2(x2，y2，z2)，(0，0，2)，(a，2，0)，令x22，n2(2，a，0)，设直线BE与平面PCD所成角为，sin|cosn2|.解得a2或4，即PA的长度为2或4.(3)PA2，则a2，P(2，2，0)，
15、设线段PC上存在一点F，使AF平面BDE，且，F(22，22，2)，n1(2，1，1)，(22，2，2)，解得，PF.19命题立意本题考查椭圆的方程、几何性质、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系解题思路(1)由椭圆的几何性质求得离心率；(2)由(1)结论求得直线BC的斜率，写出直线BC的方程，由点F到直线BC的距离，求出a、c、b，得椭圆方程；(3)设直线AP方程与椭圆方程联立，消y，利用韦达定理得P点坐标表达式，直线AP方程与x2联立得D点坐标表达式，从而得以BD为直径的圆的圆心E和半径r的表达式；写出直线PF的方程，求得圆心E到直线PF的距离等于半径，故以BD为直径的圆与直线PF相切
16、解(1)由已知，ecos60.(2)B(a，0)，C(0，b)，直线lBC：y(xa)，点F到直线BC的距离d，解得a2，c1，b，椭圆方程为1.(3)以BD为直径的圆与直线PF相切，证明：设直线lAP：yk(x2)(k0)，交点为A，P(xP，yP)，得(4k23)x216k2x16k2120，2xP，xP，yPk(xP2)，F(1，0)，点D(2，4k)，BD中点圆心E(2，2k)，当k时，点P，直线PF的方程为：x1，圆心(2，1)，半径1，与直线PF相切，当k时，kPF，直线PF的方程为：y(x1)，点E到直线PF的距离d|2k|为半径，得证20命题立意本题考查导数的几何意义、利用导数
17、判断函数的单调性、利用函数单调性证明不等式解题思路(1)对f(x)求导，利用f(1)2，求得k值；(2)对f(x)求导，分类讨论f(x)的单调性；(3)由(2)结论将问题转化为证明kln(1t)ln(1t)(t(0，1)，构造函数g(t)kln(1t)ln(1t)，对g(t)求导，得单调性，利用单调性结合g(0)，问题得证解(1)f(x)2x1(x0)，f(1)1k2，k1.(2)令f(x)2x10，即2x2xk0，18k，当k时，0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，当0k时，0，x1x20，x1x20，x1，x20，x1，x2，x1x2，f(x)在，上单调递增，在上单调递减(3)证明：由(2)可知，0k，f(x2)f(x1)，f(x1)f(x2)x21x22(x1x2)kln(x1x2)(x1x21)klnklnkln(1)ln(1)，令t(0，1)，则2kt2，只需证明kln(1t)ln(1t)，令g(t)kln(1t)ln(1t)(只需证明g(t)0即可)，g(t)k，1t21(18k)8k，g(t)0，g(t)在(0，1)上单调递增，g(t)g(0)0，得证- 10 -
